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英语单词记忆与遗忘数学模型吴丹中国科学技术大学Pb08001081摘要：利用常微分方程逐步建立英语单词记忆与遗忘模型，并提出科学的记忆方法。关键词：常微分方程、增长速率、遗忘速率一、前言单词的记忆在大学诸多考试中起到了举足轻重的作用。如何掌握科学的记忆规律成为了英语学习的一大热门话题。艾宾浩斯通过实验已经测出了人类遗忘曲线，但未给出数学模型，而且对记忆曲线并未做说明。本文将根据艾宾浩斯的遗忘规律和生物研究中的记忆规律来建立数学模型。二．建立数学模型模型一．假设1：同一个体大脑记忆信息速率为常数c；假设2：学习过程中不会产生遗忘；假设3：遗忘速率（单位时间遗忘信息量）b0是一个常数；假设4：停止学习后，个体不再创造新的记忆。设记忆痕迹量为y（t），y0为学习结束时的记忆痕迹量。我们考虑以下模型：y=ct；学习时y=y0–b0t学习结束后则单词记忆过程趋势如图（1）所示。图中M点表示学习过程结束。两段曲线的斜率分别对应c和-b0图（1）模型结果表明，记忆与遗忘都是一个关于时间的线性过程。这与我们的经验是不符的。究其原因，是因为假设不合理——（1）随着学习过程的进行，人对先输入的信息必定会产生遗忘。（2）人的遗忘速率b0应该与记忆痕迹量有关.为与实际吻合，我们要修改原来的假设并建立新的模型。模型二假设1:同一个体大脑记忆信息速率为常数c；dtdydtdy假设2：学习过程中即开始产生遗忘；假设3：遗忘速率仅与记忆痕迹量y(t)有关且成正比，即b0=by（t）;假设4：停止学习后，个体不再创造新的记忆。基于以上假设，可建立微分方程=c-by（t），0≤t≤T;①dtdyy(0)=0③=-by（t），t≥T;②dtdyT表示学习时间。y(0)表示初始信息痕迹量。解得y(t)=(1-e-bt)，0≤t≤T；bcy(t)=(ebT-1)e-bt，t≥Tbc则单词记忆过程趋势如图（2）所示。图中M点表示学习过程结束图（2）模型结果说明在不复习的情况下，随着背诵时间的增加，减小且t时，；∞→0→在不继续学习的情况下，记忆痕迹量按指数规律减少。若在某T’时刻(T’＞T)开始复习，则y(t)=(1-e-bt)，0≤t≤T；bcy(t)=(ebT-1)e-bt，T≤t≤T’bcy（t）=+e-bt，t≥T’bccH−1+�bT−�bT�Lb多次复习可以类推。ydtdydtdy艾宾浩斯曲线模型分析优点：t≤T时，记忆趋势与我们实际背诵经验基本相符。遗忘部分（t≥T）已经和艾宾浩斯曲线比较一致，且艾宾浩斯曲线是由实验数据描绘出的，并不精确，所以此模型的遗忘部分可作为它的近似数学模型。不足：在此模型下，无论回忆强化多少次，其效果都与初次记忆相同，且当t这就是说要想建立长期记忆，必须无穷多次复习回忆，这和实际不0→∞→y时，符。现在我们关注到以下几个实验事实：（1）信息会被回忆强化，被强化的信息，衰减减缓，即b减小。强化程度越高b越小。（2）回忆的时间间隔越小，效果越好，即记忆同一组信息，△Tn越小，c值越大。（3）短期记忆具有饱和性。当然，考虑到短时记忆的饱和值问题，我们可以对c作修改c=c(1-y/Y)，其中Y为饱和量，但马上就可以看到这个修饰对整个曲线的影响是微乎其微的，因此可以忽略。针对前两个事实，我们对模型做出相应修改。模型三假设1:同一个体大脑记忆信息速率c仅与相邻时间间隔有关假设2：学习过程中即开始产生遗忘；假设3：遗忘速率仅与记忆痕迹量y（t），记忆强度平均值p（t）有关，b0=by（t）/(1+p(t))假设4：停止学习后，个体不再创造新的记忆。我们来看一下会得到怎样的模型——⒈设T0,T1,T2,….Tn为每次记忆开始的时间，△Tn为两次记忆相隔的时间，即△Tn=Tn-Tn-1,T0=0，tn指第n次记忆结束的时间。（这里△Tn(tn-1-Tn-1)）Cn=c（△Tn）↓，c（△Tn）可由实验得到近似值。2.假设记忆强度平均值随时间变化如下k1t，k1＞0在背诵时间段内p(t)=k2t,k2＜0在不背诵时间内3.建立微分方程组如下=Cn-by（t）/(1+k1t)，Tn≤t≤tn;④dtdy=-by（t）/(1+k2t)，t≥tn;⑤dtdyy(0)=0,T0=0，c（△T0）=c（0）=c0⑥由⑥的初始条件，可以解得第一次记忆的解——整体的记忆曲线将是一个分段函数，以Tn为分界线。记每段函数为yn(x)，均满足上述微分方程。对于第n次记忆，可由第n-1次记忆方程递推得到，只需赋以初始条件yn(Tn)=yn-1（Tn）。为方便观察，我们仍旧假定若干数据以画出相关示意图y-t示意图如图（3）所示图（3）记忆曲线和遗忘曲线示意图如图（4）a,b所示(a)（b）图（4）模型分析：㈠求得⑦的极限为当3.b+3.k1-4.c0k1≠0时，极限不为0。3.b+3.k1−4.c0k1b+k1即一直进行记忆活动，记忆痕量的增加不会小至0,这比模型二更符合人的记忆规律。㈡遗忘部分是按(1+k2t)-b/k2-1衰减的，这说明衰减的程度不仅与个体的遗忘机能有关，还与回忆强化有关，如果背完单词能够自主地回忆、使用单词，则强度平均值下降越慢，越不容易遗忘。这就解释了为什么有些单词我们能够终生记忆，就是因为我们在生活中不断使用强化这部分记忆。㈢不足之处在于，c（△Tn）笔者无法获得，且由于作图工具的限制，无法模拟多次记忆的曲线。理想情况下已知被测个体的c（△Tn）函数，对于任一组输入的数据（{Ti}，{}，Ti∆b，c。，k1，k2），我们可以设计程序将其记忆曲线输出。三．模型意义及应用（一）不仅从本质上为艾宾浩斯曲线提供了解释，也提供了计算个体记忆曲线的公式。可以设计软件，软件首先让使用者完成一项测试，根据答案得出c（△Tn）函数及（b，c。，k1，k2），然后设计△Tn使得在使用者要求的时刻t。（比如考试那天）和要求的复习次数（即n值）下记忆痕量达到最大。输出Tn（即复习时间）。（二）在没有如此理想的软件之时，我们还可得到一些定量的结果。1.效率最高的记忆方法，是把记忆时间分开来利用，每一次记忆的时间要短，把时间分配到多次复习当中去。2.单词刚刚背完的时候遗忘速度最快，这意味着越是新背的单词对它的复习密度应该越大，背完一遍单词要赶紧复习。3.单词背完后要注意复习的时间间隔，找到效率最高的一些复习间隔会使记忆速度提升很多。4.经常回忆、使用、强化，这样遗忘速度会减慢。参考文献【1】杨鹏.《杨鹏17天搞定GRE》.西安交通大学出版社.2008