微分与差分模型简介

微分与差分方程模型简介•常微分与常差分方程的定义•种群动力学模型简介•流行病动力学模型简介•模型性态分析方法简介一.常微分与常差分方程的定义1.导数的定义及其意义)(xfy0xx设函数在点的某域内有定义,则称极限)()()(0'00lim0xfxxxfxfxx为函数在点0xx处的导数.函数在某点处的导数反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度,是刻画函数变化率的一个重要数学量.任意一个涉及到两个变量之间变化率的实际问题均可考虑建立微分方程模型来进行讨论.如速率,出生率,死亡率等.2.常微分方程定义凡含有未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫常微分方程,未知函数是多元函数的叫偏微分方程.微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶.n阶微分方程形如0),...,,,()('nyyyxF特别地,一阶微分方程为),(0),,(''yxfyoryyxF需要注意:n阶微分方程的通解含有n个任意常数.若需确定这n个任意常数,需给出n个初始条件.但并非每个微分方程或方程组均可求出其解.3.差分与差分方程定义3.1设函数y=f(x),记为yx.当x取遍非负整数时,所得函数值可排成一数列:,,,,10xyyy则差xxyy1称为函数有y=f(x)的一阶差分,记为xy.,,2)(,221211211称为函数的二阶差分）（即记为）（从而，即xxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyy类似地,可定义二阶以上的差分.定义3.2含有未知函数差分或表示未知函数几个时期的符号的方程称为差分方程.差分方程中未知函数的最大值与最小值之差称为差分方程的阶.例如阶差分方程都属于nyyyxGyyyxFnxxxnxxx0),,,,(0),,,,(11定义3.3如果一个函数带入差分方程后,方程两边相等,则称此函数为差分方程的解.的解。为方程例：22131xxyyx.,0:.,)(,),(),(5.3.,0)(.)()()()(4.3221010110为原差分方程的一解则若其根为其特征方程记为称为线性其次差分方程上述方程均为常数时若定义程否则成为非齐次差分方齐次差分方程时成为线性当阶线性差分方程的差分方程成为形如定义xiinnnnxnxxppppxpxpxpxKnxKyxpyxpyxp类似于常系数线性齐次常微分方程的通解的构造,我们只需找到该差分方程的n个线性无关的解,作出其线性组合即可.常见的一阶差分方程设f是由区间[a,b]到其自身的一个连续映射,一阶自治差分方程的一般形式为...2,1,0)(1nxfxnn给定初值0x,通过上式反复迭代上述方程的解为一数列...,...,,,10nxxx二.种群动力学模型简介种群动力学是用动力学的方法去研究种群生态学,而种群生态学是生态学的一个重要分支,也是迄今为止数学在生态中应用的最广泛深入,发展的最为系统和成熟的分支.下面将通过数学生态学中的一些基本动力学模型,简要介绍建模思想,及常用的研究方法.生态学是研究生物的生存条件,生物群与环境之间相互作用的过程及其规律的科学.在一特定时间内占据一定空间的同一物种的集合成为一个种群,种群的每个成员成为一个个体.种群生态学的着眼点在整个种群的演变规律和发展趋势,而往往忽略个体的特性.种群生态学研究的主要问题有两个:(1)种群随时间的变化规律.随着时间的推移,种群是持续生存还是绝灭,种群规模是否具有平衡态,有几个,是静平衡还是动平衡等等.(2)如何对可再生资源进行开发利用才能既保持生态平衡,又获取最大的经济效益.(1)单种群模型1.Malthus人口模型)(1trxdtdxorrdtdxxX(t)表t时刻人口数,模型表为t时刻种群的变化率是与种群数目成正比.r为内禀增长率,是种群的出生率b与死亡率d之差.方程的解为)()(,00ttxrexxrt当Malthus模型当t不很长时是比较符合实际的,但当t趋于无穷大时x(t)将无限增长是与实际不符的.问题在于建立数学模型时没有考虑到有限的资源对种群规模增长的制约作用.2.Logistic模型)1()1(1kxrxdtdxorKxrdtdxxK0为环境容纳量.它表示保持种群规模增长,环境所能容纳的最大种群规模.种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量(1-x/K)成正比.3.离散的Logistic模型离散模型通常用以描述世代不重叠的种群(蚕).设第n代种群规模为xn,则离散的logistic模型为...,2,1,0,)1(1nKxrxxnnn4.具有时滞的单种群模型(1)确定时滞模型))(1(1Ktxrdtdxx是妊娠所需要的时间.事实上,t时刻种群的相对增长率取决于t时刻种群的规模.时刻增加的个体,在t时已孕育在母体.(2)连续分布时滞模型若t时刻种群规模的相对增长率依赖于t时刻以前的整个历史时期中种群规模的发展,而在不同时刻又以不同的权函数p(u)影响,则有0)()]([1duuputxfdtdxx5.具有生理阶段结构的单种群模型实际上,年龄是影响种群规模的一个重要指标.因为在不同年龄段的生物群体具有不同的生育力和死亡率,涉及年龄的模型有三类:(1)按年龄段划分为若干阶段(幼,成,老),建立常微分方程组模型(2)离散地划分年龄,建立矩阵代数方程.(3)考虑年龄连续分布,建立一阶偏微分方程.6.具有离散年龄结构的单种群模型把所讨论物种的最大成活年龄区间分成n个相等的子区间,同时把从t0开始的时间也按与年龄子区间相等的长度加以划分,在将这两类子区间分别从小到达加以编号,用xij表示在第j个时间段内年龄位于第i段的种群规模.假定种群的规模只决定于时间和年龄,或略密度制约因素.a.设pi是年龄处于第i段的个体能活到i+1段的概率,即ijiijixpx,1b.设Bi是年龄为i段的每一个体在一个时间段内平均生育的下一代数量,即njnjjjjxBxBxBxBx33221111即jnnnjjjjjnjnjjjjxpxxpxxpxxBxBxBxBx1112213111233221111此为著名的leslie矩阵模型.7.具有扩散的单种群模型由于环境容纳量的限制或者环境条件的改变等影响,种群有时会在两个或多个栖息地间迁徙.种群规模(密度)大的斑块上种群通常向种群规模(密度)小的斑块迁徙或扩散.)()1()()1(21222221211111xxDKxxdtdxxxDKxxdtdx现实世界中种群不可能单独生存,它必于相关种群相互作用,相互依存.这样,基于单种群模型,各种多种群相互作用模型被建立与讨论.(2)双种群模型Lotka-volterra模型)()(222111ycxbaydtdyycxbaxdtdxx,y分别表示两种群的规模(密度),系数b1与c2为非正常数,反映两种群的密度制约因素.c1与b2反映另一种群对本种群的影响因素.a1与a2分别为两种群的内禀增长率.(1)捕食型:c1b20,如鱼和虾米.(2)竞争型:c10,c20,每一种群的存在限制另一种群规模的增长,二者共同竞争资源.(3)合作型:c10,c20,如蜜蜂和花朵,二者相互促进对方的增长.三.流行病动力学模型简介流行病的传播规律和防治对策的研究是关系到人类信息和国计民生的重大问题.近年来,随着环境的污染,生态的破坏及国际交流的频繁,使过去得以控制的某些传染病再次抬头蔓延,一些新的传染病也来势凶猛,这使流行病的研究显得更为重要和迫切.下面将通过一些基本模型介绍流行病动力学的建模思想,基本知识和常用的方法.(1).Kermark-mckendrick的SIR模型(仓室)1927SISIRI1把人群分为三类:1.易感者类,指t时刻尚未感染但有可能感染成为传染病人者,其数量记为S(t).2.染病者类,指t时刻已被传染成为病人者,其数量记为I(t).3.移除者类,指t时刻已恢复且具有免疫力者以及因病死亡者,其数量记为R(t).做如下三个假设:1.单位时间内每一病人接触易感者的数量为,从而在时刻单位时间内被所有病人传染的人数为.2.单位时间内移出染病者类即恢复的比例为常数.表示平均病程时间,在时间内或者病人全部恢复或因病死亡3.不考虑人口的流动和自然出生和死亡.即环境封闭,切疾病随时间的变化与自然死亡随时间的变化要显著得多.SSI/1IdtdRISIdtdISIdtdS11系统性质如下:1.S(t)+I(t)+R(t)=K,K为总人口,是常数.2.系统可简化为如下系统)1(1)1(SdSdISIdtdISIdtdS.)(.3lim存在StSt0)0(.4SSIS易感者达到极大值。故当初始时，时,随时间的推移,染病者先将增加达到最大值而后逐渐减少最终消亡.5.令00SR.当R01时疾病流行,R01时疾病不会流行,染病者单调减少而趋于零.R0称为基本再生数.6.为防止疾病的流行,需控制R01,即可以加强治疗缩短病程,也可以通过免疫接种使易感者获得免疫力而直接成为移初者.(2).Kermark-Mckendrick的SIS模型1932假设恢复者不具有免疫力而被再次传染.SISII1模型为ISIdtdIISIdtdS11系统性质如下:1.S(t)+I(t)=1,1为总人口数.2.系统可简化为1),)(1(sSdtdS3.当1时,系统有唯一的平衡位置S(t)=1,从任一初值出发的解S(t)单调增加趋于1,I(t)单调减少趋于0,即疾病消失.4.当时,系统有两个平衡位置S(t)=1(不稳定)及S(t)=(渐近稳定),从任一初值出发的解S(t)趋于,而I(t)趋于,即疾病发展成为地方病.11(3)流行病动力学模型的基本形式1.不考虑出生死亡等种群动力学因素SIRSII1RSIRSa.SISII1SISb.2.考虑出生死亡等种群动力学因素SISII1AbNdIIdS3.考虑出生死亡等种群动力学因素及免疫接种.SISII1AbNdIIdSSIRAbNdSdIdRpSSII1类似于前面,由框图可写出对应的微分动力学模型.所关心的问题是寻求决定疾病是否流行的阈值,其次是寻求地方病平衡点和无病平衡点的存在性及稳定性.四.模型性态分析方法简介对于微分动力系统模型,一般有如下讨论方法可供参考:1.若系统的解可解出,最好是解出.通过直接分析解的性质,得到系统的动力学行为.MalthusModel,LogisticModel,Kermark-MckendrickModelofSIR.2.大部分系统的解难以求出,可采用定性分析的方法加以讨论.二种群或多种群系统,具有动力学行为的流行病系统.3.借助于Maple,Matlab等数学软件,求出系统的数值解,作出系统的解曲线,采用定量分析的方法讨论系统的性质.1.一维自治系统的平衡点与稳定性一维自治系统即是一个一阶微分方程)(xfdtdx代入方程f(x)=0的实根x=x0为其平衡点，显然它也是方程的常数解（齐解）．设x0为上述方程的平衡点，若对x0的任一邻域U(x0)，存在一个属于x0的邻域U1(x0)，使得方程的每一个解x=x(t)，当x(0)∈U1时，对一切t0，都有x(t)∈U，则称平衡点是稳定的，否则称平衡点是不稳定的．特别地，若平衡点x0是稳定的，且方程的任一解x(t)还满足0)(limxtxt则称平衡点是渐近稳定的，否则称是不渐近稳定的．常用方法：.,0(,0)(00'00'是不稳定的则）若是稳定的；则若x