自考高等数学(00020)2012年1月真题答案

════════════════════════════════════════════════════════════════════2012.1本套试题共分10页，当前页是第1页-试卷总体分析：第一章第二章第三章第四章第五章第六章合计一、单项选择题（2*5）22420010二、填空题（3*10）33669330三、计算题（一）（5*5）05555525四、计算题(二)（7*3）00077721五、应用题（9*1）0000909六、证明题（5*1）0005005合计51015253015100试卷详解：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.下列函数中为奇函数的是（）A.()2xxeefxB.()2xxeefxC.3()cosfxxxD.5()sinfxxx答案：B知识点：函数奇偶性解：()()2xxeefxfx故()2xxeefx为偶函数()()2xxeefxfx，故()2xxeefx为奇函数33()coscosfxxxxx，故3()cosfxxx为非奇非偶函数55()sinsin()fxxxxxfx，故5()sinfxxx为偶函数════════════════════════════════════════════════════════════════════2012.1本套试题共分10页，当前页是第2页-2.当0x时，下列变量为无穷小量的是（）A.1exB.lnxC.xsin1xD.1sinxx答案：C知识点：无穷小量解：10000limelimlnx=-1limxsin=01limsinxxxxxxxx=13.设函数f(x)=2ln(1),0,,0xxxx则f(x)在点x=0处（）A.左导数存在，右导数不存在B.左导数不存在，右导数存在C.左、右导数都存在D.左、右导数都不存在答案：C知识点：导数的定义解：2200000ln(1),0(),,00'(0)lim00ln(1)0'(0)limlim10'(0)201'(0)11xxxxxxxfxxxxfxxxfxxfxfx法一：　　　法二：　　　所以原函数的左右导数都存在，但不可导4.曲线y=32x在x=1处的切线方程为（）A.x-3y-4=0B.x-3y+4=0C.x+3y-2=0D.x+3y+2=0答案：A知识点：曲线的切线方程════════════════════════════════════════════════════════════════════2012.1本套试题共分10页，当前页是第3页-解：23111'233113340xyxyxxy所求切线斜率为：所求切线方程为+1=即5.函数f(x)=x2+1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值公式的中值=（）A.1B.65C.54D.32答案：D知识点：拉格朗日中值公式解：根据拉格朗日中值公式2121f(x)-f(x)f()=x-x得2()1,1,523221132fxxxx12　　　　=2　　　　　　　　求解得到二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.函数f(x)=23215x的定义域为_________.答案：14-，知识点：函数定义域解：23210514x根据题意得解得原函数定义域为-，7.设函数f(x)=2(1),0cos,0xxxaxx在点x=0处连续，则a=_________.答案：2e════════════════════════════════════════════════════════════════════2012.1本套试题共分10页，当前页是第4页-知识点：函数的连续性解：02221120002limcoslim(1)lim(1)lim(1)(0)xxxxxxxaxaxxxefaae又函数在x=0连续8.微分d(e-2+tanx)=_________.答案：2sec2xdxx知识点：函数微分解：d(e-2+tanx)=d(e-2)+d(tanx)=0+2secxd(x)=2sec2xdxx9.设某商品的需求函数为Q=16-4p，则价格p=3时的需求弹性为_________.答案：3知识点：需求价格弹性解：3333'431644ppppEQpppQpEpQpp10.函数f(x)=x-2cosx在区间[0,2]上的最小值是_________.答案：-2知识点：函数最值'()12sin0()02(0)2,()22()022fxxfxfffx解：由得在，上无驻点和不可导点再由故在，上的最小值为-11.曲线y=22231xxx的铅直渐近线为_________.答案：1x知识点：曲线的渐近线════════════════════════════════════════════════════════════════════2012.1本套试题共分10页，当前页是第5页-2212223lim12311xxxxxxxx解：　　　　　　　　　　　　　　曲线的铅直渐近线为12.无穷限反常积分402d1xxx=_________.答案：2知识点：无穷限反常积分解：224400021ddarctan112xxxxxx13.微分方程xy′-2y=0的通解是_________.答案：2Cx知识点：可分离变量的微分方程22:2lndxxCyCxdy解原方程分离变量为　　　y两边同时积分得lnylnx　即原方程的通解为14.已知函数f(x)连续，若(x)=x1xf(t)dt，则′(x)=_________.答案：1()()xftdtxfx知识点：变限积分的导数解：1'()()xxftdtxfx15.设函数z=sin(xy2)，则全微分dz=_________.答案：2cos2yxyydxxdy知识点：全微分解：2222dcos2coscos2zzzdxdyxyyxydxxyxydyyxyydxxdy三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）════════════════════════════════════════════════════════════════════2012.1本套试题共分10页，当前页是第6页-16.求数列极限221lim(62)sin.31nnn答案：2知识点：数列极限解：22222222221:lim(62)sin3162lim3126lim1321:lim(62)sin311sin312lim1312nnnnnnnnnnnnnnn法一法二17.设函数f(x)=21xarctanx-ln(x+21x)，求导数f′(1).答案：42知识点：函数导数22222222222'()1arctanln1'1211arctan1121111arctan111arctan1'(1)42fxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　════════════════════════════════════════════════════════════════════2012.1本套试题共分10页，当前页是第7页-18.求极限30sinlim11xxxx.答案：13知识点：洛必达法则解：23003200sin1coslimlim3112121coslim31sinlim313xxxxxxxxxxxxxx　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　19.求不定积分3lndxxx.答案：441ln416xxxC知识点：不定积分的分部积分法344344lnd1lnd411lnd441ln416xxxxxxxxxxxxC20.设z=z(x，y)是由方程xz+y2+ez=e所确定的隐函数，求偏导数(0,0)zx.答案：1e知识点：隐函数求导════════════════════════════════════════════════════════════════════2012.1本套试题共分10页，当前页是第8页-21(0,0)(,,)''2'''110zzxyzxzzFxyzxzyeeFzFyFxeFzzxFxezxee解：　　　　　　　设　　　　　　　　　　　则　　，，　　　　　　　　　所以　　　　　　　　　　　　　　　四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分)21.确定常数a,b的值，使得点(1,12)为曲线y=32114xaxbx的拐点.答案：304ab，知识点：曲线拐点11(1)1423(1)202304fabfaab解：　　　　　　　由题意得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解得　，22.计算定积分I=320coscosd.xxx答案：23知识点：定积分换元法解：3222220002200010321coscosdcos1cosdcossindsincosdcosdcoscosd2233xxxxxxxxxxxxxxxuuuu　　　　　　　　　　　　　　　　　　令　　　　　　　　　23.计算二重积分I=411Dxdxdy，其中D是由曲线y=x3，x=l及x轴所围成的区域，如图所示.════════════════════════════════════════════════════════════════════2012.1本套试题共分10页，当前页是第9页-答案：2-12知识点：二重积分解：33414001040134014401401dd11d11d1=d111d1411122-12DxxIyxyxdyxxyxxxxxxxx五、应用题（本题9分）24.设D是由曲线y=ex，y=e-x及直线x=l所围成的平面区域，如图所示.(1)求D的面积A.(2)求D绕x轴一周的旋转体体积Vx.答案：12ee；22122ee知识点：定积分的几何应用解：11001()2xxxxAeedxeeee11222222001()222xxxxxVeedxeeee备注：习题5.10第1题的第6）题六、证明题（本题5分）════════════════════════════════════════════════════════════════════2012.1本套试题共分10页，当前页是第10页-25.证明：当x0时，e2x1+2x.知识点：函数单调性解：2221200,'22'0012.xxxfxexffxefxfxfxfex设，则其导数　　　　因为当x0时，所以当x0时单调增加，从而当x0时，即