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自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧原函数和不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。例：，sinx是cosx的原函数。Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。原函数存在定理：如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。简言之：连续函数一定有原函数。问题：（1）原函数是否唯一？自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（2）若不唯一它们之间有什么联系？例：（sinx）＇=cosx（sinx+C）＇=cosx（C为任意常数）关于原函数的说明：（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）证∵[F（x）-G（x）]＇=F＇（x）-G＇（x）=f（x）=f（x）=0∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数）不定积分的定义：函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C为任意常数。例：求。【答疑编号11050101】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧解：例：求。【答疑编号11050102】解：积分曲线例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。【答疑编号11050103】解：设曲线方程为y=f（x）,根据题意知即f（x）是2x的一个原函数。由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为y=x2+1。函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。显然，求不定积分得到一积分曲线族。不定积分的性质自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。5.2基本积分公式实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。基本积分表（1）；（2）；自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（3）；说明：简写为（4）；自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；例：求积分【答疑编号11050104】解：根据积分公式（2）自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧不定积分的性质（1）；证。∴等式成立。（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（2）（k是常数，k≠0）例：求积分。【答疑编号11050201】解：例：求积分。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧【答疑编号11050202】解：。例：。【答疑编号11050203】解：。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：；【答疑编号11050204】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：已知f（x）之一原函数为sin3x，求∫f＇（x）dx。【答疑编号11050205】【答疑编号11050206】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：求。【答疑编号11050207】例：【答疑编号11050208】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：设，求f（x）。【答疑编号11050209】例：。【答疑编号11050210】例：；【答疑编号11050211】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：【答疑编号11050212】例：。【答疑编号11050213】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧解：例：设，且f（0）=1，求f（x）.【答疑编号11050214】解：因为，若设u=ex，则f＇（u）=1+u3所以f（x）是1+x3的一个原函数，而。故。又f（0）=1，从而C=1。因此自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：；【答疑编号11050215】例：。【答疑编号11050216】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：。【答疑编号11050217】例：。【答疑编号11050218】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：求积分。【答疑编号11050219】解：说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表。四、小结原函数的概念：F＇（x）=f（x）不定积分的概念：基本积分表（1）求微分与求积分的互逆关系不定积分的性质5.3换元积分法一、第一类换元法问题解决方法利用复合函数，设置中间变量。过程令自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧在一般情况下：设F＇（u）=f（u），则如果（可微）自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧由此可得换元法定理。定理设f（u）具有原函数，可导，则有换元公式第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将观察重点不同，所得结论不同。例：求【答疑编号11050301】解（一）自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧解（二）解（三）例：求。【答疑编号11050302】解：。一般地自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：求。【答疑编号11050303】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：求。【答疑编号11050304】例：求。【答疑编号11050305】例：求。【答疑编号11050306】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：求。【答疑编号11050307】例：求。【答疑编号11050308】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：求。【答疑编号11050309】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：求。【答疑编号11050310】解：。例：求。【答疑编号11050401】解：。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：求。【答疑编号11050402】例：求。【答疑编号11050403】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：【答疑编号11050404】例：【答疑编号11050405】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：【答疑编号11050406】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧【答疑编号11050407】例：【答疑编号11050408】例：；【答疑编号11050409】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：求【答疑编号11050410】解：自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧。（使用了三角函数恒等变形）例：求。【答疑编号11050411】解：自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：【答疑编号11050412】解：设u=x2，则，所以自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：。【答疑编号11050413】解：设u=lnx，则，所以例：，求f（x）。【答疑编号11050414】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧二、第二类换元法问题解决方法改变中间变量的设置方法。过程令（应用“凑微分”即可求出结果）定理2设是单调的、可导的函数，并且，又设具有原函数，则有换元公式其中的反函数。第二类积分换元公式例：。【答疑编号11050415】解：令自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧高等数学(一)北京自考吧说明（5）当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中n为各根指数的最小公倍数）例：。【答疑编号11050416】解：令自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧三角代换。三角代换的目的是化掉根式。一般规律如下：当被积函数中含有（1）可令x=asint；（2）可令x=atant；（3）可令x=asect。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例：求。【答疑编号11050417】解：令。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧