自考高等数学(一)精讲第五章

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自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧原函数和不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义:如果在区间I内,存在可导函数F(x)使都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)在区间I内原函数。例:,sinx是cosx的原函数。Lnx是在区间(0,+∞)内的原函数。原函数存在定理:如果函数f(x)在区间I内连续,那么在区间I内存在可导函数F(x),使,都有F'(x)=f(x)。简言之:连续函数一定有原函数。问题:(1)原函数是否唯一?自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧(2)若不唯一它们之间有什么联系?例:(sinx)'=cosx(sinx+C)'=cosx(C为任意常数)关于原函数的说明:(1)若F'(x)=f(x),则对于任意常数C,F(x)+C都是f(x)的原函数。(2)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数,则F(x)-G(x)=C(C为任意常数)证∵[F(x)-G(x)]'=F'(x)-G'(x)=f(x)=f(x)=0∴F(x)-G(x)=C(C为任意常数)不定积分的定义:函数f(x)的全体原函数的集合称f(x)的不定积分,记为∫f(x)dx。,其中∫为“积分号”,f(x)为被积函数,f(x)dx为被积表达式,C为任意常数。例:求。【答疑编号11050101】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧解:例:求。【答疑编号11050102】解:积分曲线例设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程。【答疑编号11050103】解:设曲线方程为y=f(x),根据题意知即f(x)是2x的一个原函数。由曲线通过点(1,2)所求曲线方程为y=x2+1。函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。显然,求不定积分得到一积分曲线族。不定积分的性质自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧结论:微分运算与求不定积分的运算是互逆的。5.2基本积分公式实例启示能否根据求导公式得出积分公式?结论既然积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式。基本积分表(1);(2);自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧(3);说明:简写为(4);自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12);(13);例:求积分【答疑编号11050104】解:根据积分公式(2)自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧不定积分的性质(1);证。∴等式成立。(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)(2)(k是常数,k≠0)例:求积分。【答疑编号11050201】解:例:求积分。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧【答疑编号11050202】解:。例:。【答疑编号11050203】解:。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:;【答疑编号11050204】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:已知f(x)之一原函数为sin3x,求∫f'(x)dx。【答疑编号11050205】【答疑编号11050206】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:求。【答疑编号11050207】例:【答疑编号11050208】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:设,求f(x)。【答疑编号11050209】例:。【答疑编号11050210】例:;【答疑编号11050211】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:【答疑编号11050212】例:。【答疑编号11050213】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧解:例:设,且f(0)=1,求f(x).【答疑编号11050214】解:因为,若设u=ex,则f'(u)=1+u3所以f(x)是1+x3的一个原函数,而。故。又f(0)=1,从而C=1。因此自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:;【答疑编号11050215】例:。【答疑编号11050216】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:。【答疑编号11050217】例:。【答疑编号11050218】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:求积分。【答疑编号11050219】解:说明:以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表。四、小结原函数的概念:F'(x)=f(x)不定积分的概念:基本积分表(1)求微分与求积分的互逆关系不定积分的性质5.3换元积分法一、第一类换元法问题解决方法利用复合函数,设置中间变量。过程令自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧在一般情况下:设F'(u)=f(u),则如果(可微)自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧由此可得换元法定理。定理设f(u)具有原函数,可导,则有换元公式第一类换元公式(凑微分法)说明使用此公式的关键在于将观察重点不同,所得结论不同。例:求【答疑编号11050301】解(一)自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧解(二)解(三)例:求。【答疑编号11050302】解:。一般地自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:求。【答疑编号11050303】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:求。【答疑编号11050304】例:求。【答疑编号11050305】例:求。【答疑编号11050306】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:求。【答疑编号11050307】例:求。【答疑编号11050308】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:求。【答疑编号11050309】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:求。【答疑编号11050310】解:。例:求。【答疑编号11050401】解:。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:求。【答疑编号11050402】例:求。【答疑编号11050403】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:【答疑编号11050404】例:【答疑编号11050405】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:【答疑编号11050406】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧【答疑编号11050407】例:【答疑编号11050408】例:;【答疑编号11050409】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:求【答疑编号11050410】解:自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧。(使用了三角函数恒等变形)例:求。【答疑编号11050411】解:自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:【答疑编号11050412】解:设u=x2,则,所以自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:。【答疑编号11050413】解:设u=lnx,则,所以例:,求f(x)。【答疑编号11050414】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧二、第二类换元法问题解决方法改变中间变量的设置方法。过程令(应用“凑微分”即可求出结果)定理2设是单调的、可导的函数,并且,又设具有原函数,则有换元公式其中的反函数。第二类积分换元公式例:。【答疑编号11050415】解:令自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧高等数学(一)北京自考吧说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式时,可采用令(其中n为各根指数的最小公倍数)例:。【答疑编号11050416】解:令自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧三角代换。三角代换的目的是化掉根式。一般规律如下:当被积函数中含有(1)可令x=asint;(2)可令x=atant;(3)可令x=asect。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧例:求。【答疑编号11050417】解:令。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧

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