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第三讲机械能守恒定律功能关系一、重力势能、弹性势能1．重力势能(1)重力做功的特点①重力做功与无关，只与始末位置的有关．②重力做功不引起物体的变化．(2)重力势能①概念：物体的重力势能等于它所受与所处的乘积．公式：Ep＝(h为相对零势能面的高度差)．路径高度差机械能重力高度mgh②标矢性：重力势能是，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上还是，这与功的正、负的物理意义不同．③系统性：重力势能是和共有的．④相对性：重力势能的大小与的选取有关．重力势能的变化是，与参考平面的选取(3)重力做功与重力势能变化的关系①定性关系：重力对物体做正功，重力势能就；重力对物体做负功，重力势能就标量大小地球物体参考面绝对的无关．减少增加．②定量关系：重力对物体做的功物体重力势能的减少量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝.2．弹性势能(1)概念：物体由于发生而具有的能．(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量，劲度系数，弹簧的弹性势能越大．(3)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝.等于Ep1－Ep2弹性形变越大越大－ΔEp二、机械能守恒定律1．机械能和统称为机械能，即E＝，其中势能包括2．机械能守恒定律(1)内容：在只有做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能动能势能Ek＋Ep重力势能和弹性势能．重力或弹力保持不变．(2)表达式：观点表达式守恒观点E1＝E2，Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(要选零势能参考平面)转化观点ΔEk＝－ΔEp(不用选零势能参考平面)转移观点ΔEA＝－ΔEB(不用选零势能参考平面)三、功能关系1．能量转化和守恒定律能量既不会消失，也不会创生．它只能从一种形式为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变．2．常见的几种功与能的关系(1)合外力对物体做功物体动能的改变．W合＝Ek2－Ek1，即动能定理．转化等于(2)重力做功对应重力势能的改变．WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2重力做多少正功，重力势能多少；重力做多少负功，重力势能多少．(3)弹簧弹力做功与弹性势能的相对应．WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2弹力做多少正功，弹性势能减少多少；弹力做多少负功，弹性势能多少．(4)重力、弹力以外的力做的功等于机械能的变化．W外＝ΔE减少增加改变增加一、机械能守恒条件的理解1．机械能守恒的条件只有重力、弹力做功，可以重点从两个方面理解只有重力做功的情况(1)物体运动过程中只受重力．(2)物体虽受重力之外的其他力，但其他力不做功．2．常见的几种情况分析(1)水平面上物体做匀速直线运动或匀速圆周运动，其机械能保持不变．(2)光滑斜面上的物体沿斜面匀加速下滑或匀减速上滑时机械能守恒．若物体受摩擦力或其他力作用匀速下滑或匀速上滑，则机械能不守恒．(3)物体在竖直面内的光滑轨道上运动时，轨道支持力不做功，则机械能守恒．(4)细线悬挂的物体在竖直平面内摆动，悬线的拉力不做功，则机械能守恒．(5)抛体运动．如平抛、斜抛，不考虑空气阻力的过程中机械能守恒．二、机械能守恒定律与动能定理的区别与联系机械能守恒定律和动能定理是力学中的两条重要规律，在物理学中占有重要的地位．1．共同点：机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量变化的角度来研究物体在力的作用下状态的变化．表达这两个规律的方程式是标量式．2．不同点：机械能守恒定律的成立有条件限制，即只有重力、(弹簧)弹力做功；而动能定理的成立没有条件限制，它不但允许重力做功还允许其他力做功．但要注意：机械能守恒的条件是“在只有重力做功或弹力做功的情况下”，“只有重力做功”不等于“只受重力作用”，若物体除受重力之外，还受其他力作用，但这些力不做功或对物体做功的代数和为零，则系统的机械能仍守恒．3．动能定理一般适用于单个物体的情况，用于物体系统的情况在高中阶段非常少见；而机械能守恒定律也适用于由两个(或两个以上的)物体所组成的系统．4．物体所受的合外力做的功等于动能的改变；除重力(和弹力)以外的其他力做的总功等于机械能的改变．5．联系：由动能定理可以推导出机械能守恒定律．机械能守恒定律能解决的问题，动能定理一定能解决．1.一个盛水袋，某人从侧面缓慢推装液体的袋壁使它变形至如图所示位置，则此过程中袋和液体的重心将()A．逐渐升高B．逐渐降低C．先降低再升高D．始终不变解析：人对液体做正功，液体的机械能增加，液体缓慢移动可以认为动能不变，重力势能增加，重心升高，A正确．答案：A2.如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是()A．斜劈对小球的弹力不做功B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒C．斜劈的机械能守恒D．小球机械能的减小量等于斜劈动能的增大量解析：球有竖直方向的位移，所以斜劈对球做功．不计一切摩擦，小球下滑过程中，只有小球和斜劈组成的系统中动能和重力势能相互转化，系统机械能守恒，故选B、D.答案：BD3.内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙．现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点(如图所示)，由静止释放后()A．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点D．乙球从右向左滑回时，一定能回到凹槽的最低点解析：由于甲、乙组成的系统机械能守恒，所以下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能．如果甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点，则机械能增加．故A、D正确．答案：AD4.(盐城市2011届调研考试)如下图所示，两物体A、B用轻质弹簧相连，静止在光滑水平面上，现同时对A、B两物体施加等大反向的水平恒力F1、F2，使A、B同时由静止开始运动，在运动过程中，对A、B两物体及弹簧组成的系统，正确的说法是(整个过程中弹簧不超过其弹性限度)()A．机械能守恒B．机械能不断增加C．当弹簧伸长到最长时，系统的机械能最大D．当弹簧弹力的大小与F1、F2的大小相等时，A、B两物体速度为零解析：F1、F2加在A、B上以后，A、B向两侧做加速度a＝(F－kx)/m减小的加速运动．当F＝kx时，加速度为零，速度达到最大，以后kxF，A、B向两侧做减速运动，至速度减为零时，弹簧伸长到最长，从A、B开始运动到弹簧伸长到最长的过程中，F1、F2都一直做正功，使系统的机械能增加．以后弹力作用使弹簧伸长量减小，F1、F2开始做负功，则系统的机械能减小．答案：C5．(2010·山东理综)如图所示，倾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、质量为m，粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平．用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中()A．物块的机械能逐渐增加B．软绳重力势能共减少了14mglC．物块重力势能的减少等于软绳克服摩擦力所做的功D．软绳重力势能的减少小于其动能的增加与克服摩擦力所做功之和答案：BD解析：物块向下运动过程中，绳子拉力对物块做负功，物块的机械能减少，A项错误；软绳重心下降的高度为l2－l2sinθ＝14l，软绳的重力势能减少14mgl，B项正确；由能的转化和守恒知，物块和软绳重力势能的减少等于物块和软绳增加的动能和软绳克服摩擦力所做的功，C项错误；对于软绳，由能的转化和守恒知，绳子拉力对软绳所做的功和软绳重力势能的减少之和等于软绳动能的增加与克服摩擦力所做功之和，D项正确．如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中()A．圆环机械能守恒B．弹簧的弹性势能先增大后减小C．弹簧的弹性势能变化了mghD．弹簧的弹性势能最大时圆环动能最大解析：圆环受到重力、支持力和弹簧的弹力作用，支持力不做功，故系统内的环的机械能与弹簧的弹性势能总和保持不变，故全过程弹簧的弹性势能变化量等于环的机械能变化量，C正确，圆环的机械能不守恒，A错误．弹簧垂直杆时弹簧的压缩量最大，此时圆环有向下的速度，故此时弹性势能比最末状态的弹性势能小，即：最终状态弹簧被拉长，且弹性势能达到最大，此时圆环的动能为零，所以弹性势能是先增加后减小最后又增大，B、D错误．答案：C判断机械能是否守恒的方法(1)利用机械能的定义判断：分析动能与势能的和是否变化．如：匀速下落的物体动能不变，重力势能减少，物体的机械能必减少．(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，机械能守恒．(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化，而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统的机械能守恒．(4)对一些绳子、钢索突然绷紧，机械能一般不守恒，除非题中有特别说明．1－1：(2011·湖北八校一次联考)将物体从一定高度水平抛出(不计空气阻力)，物体运动过程中离地面高度为h时，物体水平位移为x、物体的机械能为E、物体的动能为Ek、物体运动的速度大小为v.以水平地面为零势能面．下列图象中，能正确反映各物理量与h的关系的是()答案：BC解析：设抛出点距离地面的高度为H，由平抛运动规律x＝v0t，H－h＝12gt2可知：x＝v02H－hg，图象非抛物线，故A项错；平抛运动物体机械能守恒，故B项正确；平抛物体的动能Ek＝mgH－mgh＋12mv02，C项正确，D项错．(14分)有一光滑水平板，板的中央有一小孔，孔内穿入一根光滑轻线，轻线的上端系一质量为M的小球，轻线的下端系着质量分别为m1和m2的两个物体，当小球在光滑水平板上沿半径为R的轨道做匀速圆周运动时，轻线下端的两个物体都处于静止状态(如右图)．若将两物体之间的轻线剪断，则小球的线速度为多大时才能再次在水平板上做匀速圆周运动？【审题导引】(1)剪断细线后，小球如何运动？(2)绳断后，m1和小球组成的系统能量怎样变化的？(3)该系统机械能是否守恒？【规范解答】解法一(守恒观点)：选小球为研究对象，设小球沿半径为R的轨道做匀速圆周运动时的线速度为v0，根据牛顿第二定律有(m1＋m2)g＝Mv02R①(3分)假设物体m1上升的高度为h，小球的线速度减为v时，小球在半径为(R＋h)的轨道上再次做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有m1g＝Mv2R＋h②(3分)选小球做匀速圆周运动的水平面为零势面，设小球沿半径为R的轨道做匀速圆周运动时m1到水平板的距离为H，根据机械能守恒定律有12Mv02－m1gH＝12Mv2－m1g(H－h)③(5分)由①②③三式联立解得v＝3m1＋m2gR3M.(3分)解法二(转化观点)：与解法一相同，首先列出①、②两式，然后再选小球M、物体m1与地球所组成的系统为研究对象，研究两物体间的轻线被剪断后物体m1上升的过程．由于系统的机械能守恒，所以小球M动能的减少量等于物体m1重力势能的增加量．即12Mv02－12Mv2＝m1gh④由①②④三式联立解得v＝3m1＋m2gR3M.答案：3m1＋m2gR3M(1)比较上述两种解法可以看出，根据机械能守恒定律应用守恒观点列方程时，需要选零势面；应用转化观点列方程，不需要选零势能面，显得更简捷．(2)应用机械能守恒定律的基本思路①选取研究对象——物体或系统．②根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒．③恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末态时的机械能．④选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB)进行求解．2－1：如图所示，甲、乙两个物体的质量分别为m甲和m乙(m乙m甲)，用细绳连接跨在半径为R的光滑半圆柱的两端，连接体由图示位置从静止开始运动，当甲到达半