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第三讲运动图象追及相遇问题一、直线运动的x－t图象1．图象的物理意义：反映了物体做直线运动的___________变化的规律．2．图线斜率的意义：(1)图线上某点切线的斜率大小表示物体____________．(2)图线上某点切线的斜率正负表示物体___________．位移随时间速度的大小速度的方向二、直线运动的v－t图象1．图象的物理意义：反映了做直线运动的物体的___________变化的规律．2．图线斜率的意义(1)图线上某点切线的斜率大小表示物体____________．(2)图线上某点切线的斜率正负表示______________．加速度的方向加速度的大小速度随时间3．两种特殊的v－t图象(1)若v－t图象是横轴平行的直线，说明物体做________________．(2)若v－t图象是一条倾斜的直线，说明物体做________________．4．图象与坐标轴围成的“面积”的意义(1)图象与坐标轴围成的面积表示___________________．匀速直线运动匀变速直线运动相应时间内的位移(2)若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为_________；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为________．负方向正方向三、追及和相遇问题1．追及与相遇问题的概述当两个物体在__________运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的___会不断发生变化，两物体间距离越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题．同一直线上距离2．追及问题的两类情况(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一______，后者的速度一定不______前者的速度．(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者_____时，两者相距______．3．相遇问题的常见情况(1)同向运动的两物体追及即相遇．(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇．位置小于相等最近一、对x－t图象的理解1．理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”的物理意义(1)点：两图线交点，说明两物体相遇．(2)线：表示研究对象的变化过程和规律．若为倾斜直线，则表示物体做匀速直线运动；若为曲线，则表示物体的速度在变化．(3)斜率：x－t图象的斜率表示速度的大小及方向．(4)截距：纵轴截距表示t＝0时刻的初始位移，横轴截距表示位移为零的时刻．2．由x－t图象可获得的信息(1)从x－t图象上可以确定物体在任意时间内的位移．(2)从x－t图象上可以确定物体通过任一位移所需的时间．(3)根据x－t图象的斜率可以判断和比较物体运动速度的大小，并能判断运动性质．二、对v－t图象的理解1．理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义(1)点：两图线交点，说明两物体在交点时的速度相等．(2)线：倾斜直线表示匀变速直线运动，曲线表示变加速运动．(3)斜率：表示加速度的大小及方向．(4)截距：纵轴截距表示t＝0时刻的初速度，横轴截距表示速度为零的时刻．(5)面积：表示某段时间内的位移．2．由v－t图象可获得的信息(1)从v－t图象上可以得出物体在任意时刻的运动速度．(2)由v－t图象的“面积”(速度图线和横轴所夹的面积)可求出物体运动的位移大小．(3)从v－t图象上可以得出物体运动的加速度．三、追及、相遇问题的分析1．讨论追及、相遇的问题，其实质是分析讨论两物体在某一时刻能否到达相同的空间位置问题．(1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到．(2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．2．解题的思路和方法分析两物体运动过程→画运动示意图→找两物体位移关系→列位移方程1.如下图所示，甲、乙、丙、丁是以时间为横轴的匀变速直线运动的图象，下列说法正确的是()A．甲是a－t图象B．乙是x－t图象C．丙是x－t图象D．丁是v－t图象解析：匀变速直线运动的加速度恒定，其速度随时间均匀变化，故A、D错；匀变速直线运动的位移—时间关系为x＝v0t＋12at2，图象丙是v0＝0时的位移—时间图象，故C对B错．答案：C2.(2011·西安八校联考)一质点沿直线运动时的v－t图线如右图所示，则以下说法中正确的是()A．第1s末质点的位移和速度的方向都改变B．第2s末质点的位移改变方向C．第4s末质点的位移为零D．第2s末和第4s末质点的位置相同解析：在速度时间图象中，纵坐标的正负表示速度的方向；图象所围面积在时间轴上方表示位移方向为正，在时间轴下方表示位移方向为负．在第1s末，速度、位移方向都不变，A错误；第2s末，速度改变方向，而位移方向仍为正方向，B错误；0～2s内位移与2s～4s内位移大小相等，方向相反，故第4s末位移为零，C正确；第2s末位移为1m，第4s末位移为0，所以D错误．答案：C3.物体甲的位移与时间图象和物体乙的速度与时间图象分别如图所示，则这两个物体的运动情况是()①甲在整个t＝6s时间内有来回运动，它通过的总位移为零②甲在整个t＝6s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4m③乙在整个t＝6s时间内有来回运动，它通过的总位移为零④乙在整个t＝6s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4mA．①③B．①④C．②③D．②④答案：C4．物体沿x轴运动，观察者在O点，在x轴上有A、B、C三个点，它们到观察者的距离分别为4m、4m、8m，如图甲所示．请在图乙中做出观察者看到的下列物体运动的位移—时间图象．(1)物体甲从O点开始以1m/s的速度沿x轴正方向运动；(2)物体乙在B点静止；(3)物体丙从A点开始以1m/s的速度沿x轴正方向运动；(4)物体丁从C点开始以2m/s的速度沿x轴负方向运动．答案：如下图所示5.物体沿x轴运动，请在右图中做出物体运动的速度—时间图象．(1)物体甲以2m/s的速度，沿x轴正方向做匀速运动；(2)物体乙以2m/s的速度，沿x轴负方向匀速运动；(3)物体丙由静止以1m/s2的加速度沿x轴正方向运动；(4)物体丁以4m/s的初速度，1m/s2的加速度沿x轴正方向做匀减速运动．答案：如下图所示6.(2011·合肥高三第一次质检)a、b两车在两条平行的直车道上同方向行驶，它们的v－t图象如图所示．在t＝0时刻，两车间距离为d；t＝5s的时刻它们第一次相遇．关于两车之间的关系，下列说法正确的是()A．t＝15s的时刻两车第二次相遇B．t＝20s的时刻两车第二次相遇C．在5～15s时间内，先是a车在前，而后是b车在前D．在10～15s时间内，两车间距离逐渐变大解析：本题考查运动学图象分析．两车同向运动，a做匀减速运动，b做匀加速运动，t＝0时两车相距为d，t＝5s时两车第一次相遇，t＝5s到t＝15s时间段内，由图象可以看出，两者位移相等，因此t＝15s两者第二次相遇，A项正确；t＝5s到t＝20s时间段内，b的位移比a的大，因此b在a的前面，B项错误；在t＝5s到t＝15s时间段内，先是a车在前直到两者相遇，C项错误；10～15s内两者的距离在减小，D项错误．答案：A对图象的理解及应用甲、乙两物体先后从同一地乙、点出发，沿一条直线运丙、动，它们的v－t图象如丁、右图所示，由图可知()A．甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲B．t＝20s时，乙追上了甲C．在t＝20s之前，甲比乙运动快；在t＝20s之后乙比甲运动快D．由于乙在t＝10s时才开始运动，所以t＝10s时，甲在乙前面，它们之间的距离为乙追上甲前的最大距离解析：从题图中看到开始甲比乙运动快，且早出发，但是乙做匀加速运动，最终是可以追上甲的，A项错误；t＝20s时，速度图象中甲的速度图线与时间轴所围的面积大于乙的，即甲的位移大于乙的位移，所以乙没有追上甲，B项错误；在t＝20s之前，甲的速度大于乙的速度，在t＝20s之后，乙的速度大于甲的速度，C项正确；乙在追上甲之前，当它们速度相同时，它们之间的距离最大，对应的时刻为t＝20s，D选项错误．答案：C(1)v－t图象中，由于位移的大小可以用图线和坐标轴包围的面积表示，因此可以根据面积判断物体是否相遇，还可以根据面积差判断物体间距离的变化．(2)用图象法求解运动学问题形象、直观，利用运动图象可以直接得出物体运动的速度、位移、加速度．1－1：质点做直线运动的v－t图象如下图所示，规定向右为正方向，则该质点在前8s内平均速度的大小和方向分别为()A．0.25m/s向右B．0.25m/s向左C．1m/s向右D．1m/s向左解析：由图象面积计算0～3s内质点的位移x1＝2×3×12m＝3m，方向向右，3～8s内位移为x2＝2×5×12m＝5m，方向向左，所以前8s总位移x＝x1－x2＝－2m.v＝xt＝－28m/s＝－0.25m/s，即大小为0.25m/s，方向向左，B正确．答案：B追及、相遇问题的分析(14分)如右图所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离为85m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5m/s2，甲车运动6.0s时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5.0m/s2，求两辆汽车相遇处距A处的距离．【规范解答】解：甲车运动6s的位移为x0＝12a1t20＝45m①(2分)此时甲车尚未追上乙车，设此后用时间t与乙车相遇，则有12a1(t＋t0)2＝12a2t2＋85②(3分)将上式代入数据并整理得：t2－12t＋32＝0③(3分)解得：t1＝4s，t2＝8st1、t2都有意义，t1＝4s时，甲车追上乙车；t2＝8s时，乙车追上甲车再次相遇第一次相遇地点距A的距离：x1＝12a1(t1＋t0)2＝125m④(3分)第二次相遇地点距A的距离：x2＝12a1(t2＋t0)2＝245m．⑤(3分)(1)在解决追及、相遇类问题时，要紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析．(2)分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．2－1：甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的．为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置标记．在某次练习中，甲在接力区前x0＝13.5m处作了标记，并以v＝9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令．乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒．已知接力区的长度为L＝20m．求：(1)此次练习中乙在接棒前的加速度a.(2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离．解析：(1)在甲发出口令后，甲乙达到共同速度所用时间为t＝va①设在这段时间内甲乙的位移分别为x1和x2，则x2＝12at2②x1＝vt③x1＝x2＋x0④联立①②③④式解得a＝v22x0＝3m/s2.④(2)在这段时间内，乙在接力区的位移为x2＝v22a＝13.5m完成交接棒时，乙离接力区末端的距离为L－x2＝6.5m.答案：(1)3m/s2(2)6.5m1.(2011·广东六校联合体联考)如右图所示是物体在某段运动过程中的v－t图象，在t1和t2时刻的瞬时速度分别为v1和v2，则时间由t1到t2的过程中()A．加速度不断减小B．加速度不断增大C．平均速度v＝v1＋v22D．平均速度vv1＋v22解析：图线的斜率可知物体的加速度逐渐减小，故A正确．B错误；若物体从t1时刻到t2时刻做匀减速运动，则其v－t图如图中直线2所示，从v－t图上可知两种运动情况下，匀减速运动的位移较大，其平均速度较大，物体做匀减速运动在t1到t2的平均速度等于v1＋v22，所以物体做加速度减小的减速运动中的平均速度应小于v1＋v22，故C、D错误．答案：A2.一遥控玩具小车在平直路上运动的位移—时间图象如右图所示，则()A．15s末汽车的位移为30