《立体几何》专题(文科)

勤思苑补习社《立体几何》专题（文科）第1页共13页高三文科数学复习资料——《立体几何》专题一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：条件结论线线平行线面平行面面平行垂直关系线线平行如果a∥b，b∥c，那么a∥c如果a∥α，aβ，β∩α=b，那么a∥b如果α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，那么a∥b如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b线面平行如果a∥b，aα，bα，那么a∥α——如果α∥β，aα，那么α∥β——面面平行如果aα，bα，cβ，dβ，a∥c，b∥d，a∩b=P，那么α∥β如果aα，bα,a∩b=P,a∥β,b∥β，那么α∥β如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ如果a⊥α，a⊥β，那么α∥β条件结论线线垂直线面垂直面面垂直平行关系线线垂直二垂线定理及逆定理如果a⊥α，bα，那么a⊥b如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c线面垂直如果a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=P，那么a⊥α——如果α⊥β，α∩β=b，aα,a⊥b，那么a⊥β如果a⊥α，b∥a，那么b⊥α面面垂直定义（二面角等于900）如果a⊥α，aβ，那么β⊥α————二、练习题：1．1∥2，a，b与1，2都垂直，则a，b的关系是A．平行B．相交C．异面D．平行、相交、异面都有可能2、一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：ABCD侧(左)视图正(主)视图勤思苑补习社《立体几何》专题（文科）第2页共13页3．设、、为平面，m、n、l为直线，则m的一个充分条件是A．,,lmlB．,,mC．,,mD．,,nnm4、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A）2（B）1（C）23（D）135、在下列关于直线l、m与平面、的命题中，真命题是（）（A）若l，且，则l（B）若l，且//，则l（C）若m，且lm，则//l（D）若l，且，则//l6、已知四棱椎PABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA底面ABCD，且8PA，则该四棱椎的体积是。7、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为。8、如图，棱柱111ABCABC的侧面11BCCB是菱形，11BCAB（Ⅰ）证明：平面11ABC平面11ABC；（Ⅱ）设D是11AC上的点，且1//AB平面1BCD，求11:ADDC的值。勤思苑补习社《立体几何》专题（文科）第3页共13页9、如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，AB=2,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;10、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.11．直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCAB，E是A1C的中点，EDAC1且交AC于D，AAABBC122(如图11)．（I）证明：BC11//平面ABC1；（II）证明：AC1平面EDB．图11DEA1CBAC1B1ABCDEF勤思苑补习社《立体几何》专题（文科）第4页共13页12．（本小题满分13分）如图，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱BB1⊥底面ABCD，E是侧棱CC1的中点。（I）求证：AC⊥平面BDD1B1；（II）求证：AC//平面B1DE。13、（13分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，SAABCD底面，M为SA的中点，N为CD的中点．（Ⅰ）证明：平面SBD平面SAC；（Ⅱ）证明：直线MNSBC平面‖．14、如图，在底面是矩形的四棱锥ABCDP中，PA面ABCD，E、F为别为PD、AB的中点，且1ABPA，2BC，（1）求四棱锥ABCDE的体积；（2）求证：直线AE∥平面PFC.NABCDSMPBCDAEF勤思苑补习社《立体几何》专题（文科）第5页共13页ABCDA1B1C1D1P15、如图，已知1111ABCDABCD是底面为正方形的长方体，1160ADA，14AD，点P是1AD上的动点．（1）试判断不论点P在1AD上的任何位置，是否都有平面11BPA垂直于平面11AAD？并证明你的结论；（2）当P为1AD的中点时，求异面直线1AA与1BP所成角的余弦值；16、已知四棱锥PABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)是否不论点E在何位置，都有BDAE？证明你的结论；俯视图侧视图正视图121121ABCDPE勤思苑补习社《立体几何》专题（文科）第6页共13页17、如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，2ADDEAB，F为CD的中点.(1)求证：//AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；18、直三棱柱111ABCABC中，12ACBCAA，90ACB.E为1BB的中点，D点在AB上且3DE.（1）求证：CD⊥平面11AABB；（2）求三棱锥1ACDE的体积.ABCDEF勤思苑补习社《立体几何》专题（文科）第7页共13页CADBOE19、如图，在四棱锥ABCDP中，底面为直角梯形，//,90ADBCBAD，PA垂直于底面ABCD，NMBCABADPA,,22分别为PBPC,的中点。(1)求证：DMPB；（2）求BD与平面ADMN所成的角；（3）求截面ADMN的面积。20、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD（1）求证：AO平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦；（3）求点E到平面ACD的距离．勤思苑补习社《立体几何》专题（文科）第8页共13页参考答案1．D2．C3．D4．B5．B6、967、38、解：（Ⅰ）因为侧面BCC1B1是菱形，所以11BCCB又已知BBCBABACB1111,且所又CB1平面A1BC1，又CB1平面AB1C，所以平面CAB1平面A1BC1.（Ⅱ）设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点.即A1D：DC1=1.9、证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=12AG=1所以四边形AGEF为平行四边形所以AF∥EG因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF∥平面BDE（Ⅱ）连接FG。因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.10、解：(Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD,∴EF∥AD,又∵AD平面PAD,EF平面PAD,∴EF∥平面PAD.ABCDEFG勤思苑补习社《立体几何》专题（文科）第9页共13页(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,则BG⊥平面ABCD,且EG=12PA.在△PAB中，AD=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB=2,EG=22.∴S△ABC=12AB·BC=12×2×2=2,∴VE-ABC=13S△ABC·EG=13×2×22=13.11．证明：（I）证：三棱柱ABCABC111中BCBC11//，又BC平面ABC1，且BC11/平面ABC1，BC11//平面ABC1（II）证：三棱柱ABCABC111中AAAB1，RtAAB1中，ABAB221，BCABABC11，是等腰三角形．E是等腰ABC1底边AC1的中点，ACBE1①又依条件知ACED1②且EDBEE③由①，②，③得AC1平面EDB．14、解：（1）取AD的中点O，连接EO,则EO是PAD的中位线，得EO∥PA,故EO面ABCD,EO是四棱锥ABCDE的高，3121213131EOSVABCDABCDE（2）取PC的中点G,连EG,FG,由中位线得EG∥CD,EG=21CD=AF,四边形AFGE是平行四边形，AEFGPFCAEFG//AEPFC面面∥PFC面图11DEA1CBAC1B1勤思苑补习社《立体几何》专题（文科）第10页共13页EPD1C1B1A1DCBA15、解：（1）不论点P在1AD上的任何位置，都有平面11BPA垂直于平面11AAD.证明如下：由题意知，1111BAAD，111BAAA又1111AAADA11BA平面11AAD又11AB平面11BPA平面11BPA平面11AAD．（2）过点P作11PEAD，垂足为E，连结1BE（如图），则1PEAA∥，1BPE是异面直线1AA与1BP所成的角．在11RtAAD△中∵1160ADA∴1130AAD∴11111122ABADAD,111112AEAD，2211115BEBAAE．又1132PEAA．在1RtBPE△中，15322BP1136cos422PEBPEBP．16、解：(1)由三视图可知，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC底面ABCD，且2PC.∴211212333PABCDABCDVSPC正方形，即四棱锥PABCD的体积为23.(2)不论点E在何位置，都有BDAE.证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BDAC.∵PC底面ABCD，且BD平面ABCD，∴BDPC.又∵ACPCC，∴BD平面PAC.∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC.∴不论点E在何位置，都有BDAE.ABCDPEF勤思苑补习社《立体几何》专题（文科）第11页共13页17、(1)证法一：取CE的中点G，连FGBG、.∵F为CD的中点，∴//GFDE且12GFDE.∵AB平面ACD，DE平面ACD，∴//ABDE，∴//GFAB.又12ABDE，∴GFAB.∴四边形GFAB为平行四边形，则//AFBG.∵AF平面BCE，BG平面BCE，∴//AF平面BCE.证法二：取DE的中点M，连AMFM、.∵F为CD的中点，∴//FMCE.∵AB平面ACD，DE平面ACD，∴//DEAB.又12ABDEME，∴四边形ABEM为平行四边形，则//AMBE.∵FMAM、平面BCE，CEBE、平面BCE，∴//FM平面BCE，//AM平面BCE.又FMAMM，∴平面//AFM平面BCE.∵AF平面AFM，∴//AF平面BCE.(2)证：∵ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AFCD.∵DE平面ACD，AF平面ACD，∴DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.∵//BGAF，∴BG平面CDE.∵BG平面BCE，∴平面BCE平面CDE.18、解：(1)在Rt△DBE中，BE=1，DE=3，∴BD=DE2－BE2=2=12AB，∴则D为AB中点,而AC=BC，∴CD⊥AB又∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱,∴CD⊥AA1又AA1∩AB=A且AA1、AB平面A1ABB1故CD⊥平面A1ABB1ABCDEFMHG勤思苑补习社《立体几何》专题（文科）第12页共13页（2）∵A1ABB1为矩形，∴△A1AD，△DBE，△EB1A1都是直角三角形，∴111111AEBDBEADAABBADEASSSSS=2×22－12×2×2－12×2×1－12×22×