1.1 随机事件及其运算

例如：某场足球赛的输赢；某些经济现象（如失业，经济增长速度）等.——在一定的条件下并不总是出现相同结果的现象.•确定现象•随机现象——一定条件下必然发生的现象；例如：掷一颗骰子出现的点数；某种型号电视机的寿命.例如:太阳从东方升起；上抛物体下落等.带有随机性、偶然性的现象随机试验----在相同条件下可重复的随机现象也有许多随机现象是不能重复的.概率论与数理统计主要是研究能大量重复的随机现象.但也十分注意研究不能重复的随机现象.随机现象随机试验实例(E1－E6与课本P3上实例全同)E1：掷一枚骰子，观察1至6点出现的状况。E3：连开两枪,观察中靶Y与脱靶N的出现状况。E6：记录某大型超市一天内光顾的顾客人数。E4：任取一只产品，检验其是否合格。E2：抛一枚硬币，观察正面H与反面T出现的状况。E5：任取一只灯泡，测试其工作寿命。1、条件相同时，试验可被重复实施；3、试验的每次结果虽难以肯定，但可能出现的全部可视结果却都能事先预见。2、单次试验实施前，哪一结果会肯定出现却难以确定；随机试验E的共同特点如一定的命中率，一定的分布规律等等.但大量炮弹的弹着点则会表现出一定的规律性，随机现象是不是没有规律可言?我们的生活和随机现象结下了不解之缘.在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性否！例如:一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中又存在着必然的规律.也就是说，随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面，随机现象常常表现出这样或那样的统计规律，这正是概率论与数理统计所研究的对象.随机现象的统计性规律——相同条件下进行大量重复试验，随机现象所呈现的规律性.这种必然性表现在大量重复试验或观察中随机现象所呈现出的固有规律性，称为为了用数学的方法对这种统计规律进行研究，我们首先要对随机现象给出规范的数学描述，或说为其建立一个数学模型：样本空间、样本点、随机事件§1.1随机事件及其运算1.随机试验所有可能出现的全部基本结果所组成的集合称为样本空间，记成Ω；样本空间内的任一元素（随机试验的任一基本试验结果）都称为样本空间的一个样本点，记成ωi。1234561,2,3,4,5,6,:00,1,2,3,,,HTYYYNNYNNttn，，，，合格，不合格一、借助集合论规范随机试验与随机事件的表述§1.1随机事件及其运算数集数集无限集*样本空间中的元素可以是数也可以不是数.*样本空间中至少有两个样本点，仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间.2.同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.例如对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面H、反面T出现的情况,则样本空间为:若观察出现正面的次数,则样本空间为:{0,1,2,3}.{,,,,,,,}.HHHHHTHTHTHHHTTTTHTHTTTT说明1.试验不同,对应的样本空间也不同.3.建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.{,}HT:样本空间为.654321,,,,,S如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.事件B={掷出奇数点}事件A={掷出1点}1,3,5.5,61.事件C{出现的点数大于4}=基本事件:(相对于观察目的不可再分解的事件)事件B={掷出奇数点}如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.事件Ai={掷出i点},i=1,2,3,4,5,6由一个样本点组成的单点集.基本事件当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称事件A发生.如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.:样本空间为.654321,,,,,S事件B={掷出奇数点}1,3,5B发生当且仅当B中的样本点1,3,5中的某一个出现.两个特殊的事件：例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必然事件;即在试验中必定发生的事件，常用S表示;即在一次试验中不可能发生的事件，常用φ表示.而“掷出点数8”则是不可能事件.2.随机试验的样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件.基本事件：与仅含单个样本点的子集对应的事件复合事件：与含多个样本点的子集相对应的事件必然事件Ω：与整个样本空间相对应的事件不可能事件：与空集相对应的事件随机试验、样本空间与随机事件的关系每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.随机试验样本空间子集随机事件随机事件基本事件必然事件不可能事件复合事件互为对立事件我们的工作目标就是度量随机事件发生可能性大小的方法.“天气可以预报”指的是研究者从大量的气象资料来探索这些偶然现象的规律性.随机事件发生的可能性大小是人为的吗?随机事件发生的可能性大小是不以人们的意志为转移的,就好比一根木棒有长度，一块土地有面积一样.“天有不测风云”和“天气可以预报”矛盾吗?随机事件有什么特点?首先，随机事件的发生具有偶然性，在一次试验中，可能发生，也可能不发生；其次，在大量重复试验中，随机事件的发生具有某种规律性.“天有不测风云”指的是随机现象一次实现的偶然性.出现次数60626768645662445867数字0123456789你能猜出他怀疑的理由吗?各数码出现次数应该近似相等，或者说，它们出现的的频率应该都接近于0.1.744但是，几十年后，曼彻斯特的费格森统计了的611位小数后，得到下面的表，从而对它的正确性产生了怀疑.我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后7位，这个记录保了1000多年！圆周率=3.1415926……是一个无限不循环小数，1873年，英国学者Shanks(尚克斯)公布了一个的数值，它在小数点后共有707位之多!出现的次数过少！设A、B、Ak(k=1，2，…，n)是Ω的子集③事件之和事件A∪B称为事件A与B的和事件。BAxx或1nkkA称为n个事件A1，A2，，An的和事件，1kkA称为可列个事件A1，A2，的和事件。②相等若AB，BA，则称事件A=B。①包含若AB，则称事件B包含事件A。二随机事件间的关系与运算实例1“长度不合格”必然导致“产品不合格”所以“产品不合格”包含“长度不合格”.图示B包含A.SBA实例2某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.图示事件A与B的并.SBABA发生至少有一个发生和BABA④事件之积事件A∩B=称为事件A与B的积事件，也记为AB。称为n个事件A1，A2，，An的积事件，称为可列个事件A1，A2，的积事件。xxAxB且1nkkA1kkA⑤事件之差事件称为事件A与B的差事件。ABxxAxB但图示事件A与B的积事件.SABAB实例3某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格”，Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”．ABBAC则图示A与B的差.ABABABABBABA实例4设Ｃ＝“长度合格但直径不合格”，Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”..BAC则⑦事件的互逆（或对立）若A∩B=且A+B=Ω，则称事件A与事件B彼此对立，或互逆，记成B=或B=Ω－A。A⑥事件的互不相容（或互斥）若A∩B=（即不可能同时发生），则称事件A与事件B互不相容或互斥。互逆必互斥，互斥不尽互逆实例5抛掷一枚硬币,“出现花面”与“出现字面”是互不相容的两个事件.“骰子出现1点”“骰子出现2点”图示A与B互斥.SAB互斥实例6抛掷一枚骰子,观察出现的点数.注意基本事件是两两互斥的.实例7“骰子出现1点”“骰子不出现1点”图示A与B的对立.SBA若A与B对立，则有.ABSBA且A对立对立事件与互斥事件的区别SSABABAA、B对立（互逆）A、B互斥(互不相容)ABSBA且AB互斥对立ΩAABAB逆事件A－B（2）Ω差事件AB=Ω互不相容事件A∩BΩ积事件A∪BΩ和事件ΩAB子事件AA－B（1）Ω差事件随机事件间运算关系的Venn图①交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。②结合律A∪（B∪C）=（A∪B）∪C；A∩（B∩C）=（A∩B）∩C。③分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).④德·摩根律（DeMorgan）;.ABABABAB和之逆即逆之积;积之逆即逆之和随机事件间的运算性质例1电路如图所示。用A表示事件“信号灯点亮”，用B，C，D依次表示“继电器Ⅰ闭合”，“继电器Ⅱ闭合”，“继电器Ⅲ闭合”。试给出用B，C，D间的运算关系表示事件A的关系式。ABCBD()ABCD例2设A、B、C为样本空间Ω中的三个事件，试用A、B、C表示下列事件:1）A发生而B、C都不发生；2）A、B发生，C不发生；3）A、B、C至少有一个发生；4）A、B、C都发生；5）A、B、C都不发生；6）A、B、C中只有一个发生；7）A、B、C中不多于两个发生；8）A、B、C中恰有两个发生.ABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABC又可“宏观地”表述成3.一切由基本事件复合而成的抽象事件，都可借集合与集合间的运算关系，准确无误地加以描述。ABCABCABCABCABCABCABCABC例如，三事件A、B、C中至少发生一个的事件既可“微观地”表述成更可“逻辑地”表述成ABCABC或随机试验样本空间子集随机事件随机事件基本事件必然事件不可能事件复合事件小结(1)随机试验、样本空间与随机事件的关系(2)概率论与集合论之间的对应关系记号概率论集合论样本空间，必然事件空间不可能事件空集e基本事件元素A随机事件子集AA的对立事件A的补集BAA出现必然导致B出现A是B的子集BA事件A与事件B相等集合A与集合B相等BA事件A与事件B的差A与B两集合的差集AB事件A与B互不相容A与B两集合中没有相同的元素BA事件A与事件B的和集合A与集合B的并集AB事件A与事件B的积事件集合A与集合B的交集课堂练习填空以Ａ表示事件“甲产品畅销，乙产品滞销”其对立事件为＿＿．Ａ）“甲滞销，乙畅销”Ｂ）“甲乙均畅销”Ｃ）“甲滞销”Ｄ）“甲滞销或乙畅销”A解设Ｂ＝“甲畅销”，Ｃ＝“乙畅销”则故Ａ的对立事件为Ｄ），即“甲滞销或乙畅销”．,CBACBACBCB那么要问:如何求得某事件的概率呢?下面几节就来回答这个问题.研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是第一讲随机事件及其运算第三讲条件概率与派生概率公式第二讲概率定义及其算法第四讲独立性与派生贝努里概型第一章随机事件及其概率第二讲概率定义及其算法古典概率、几何概率、概率的本质特性前言对于一个事件来说，也可能不发生。试验中发生的可能性究竟有多大。我们常常希望知道某些事件在一次我们希望找到一个合适的数据来表示事件在一次试验中发生的可能性为此首先引入频率，这描述了事件发生的频繁程度进而引出表示事件在一次试验中发生的可能性的大小的数——概率。的大小。它在一次试验中可能发生，概率是对随机事件发生可能性大小的客观度量。频率的概念:定义设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条件下，把E独立的重复做n次，nA表示事件A在这n次试验中发生的次数（称为频数）．比值fn(A)=nA/n称为事件A在这n次试验中发生的频率．频率有如下性质：(1)对于任一事件A，有0fn(A)1；(2)对于必然事件，有fn()=1；(3)对于互不相容的事件A，B，有fn(A∪B)=fn(A)+fn(B)引例某射手对目标进行射击，