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§1第2课时第2课时集合的表示【学习要求】1．掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)；2．通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．【学法指导】通过由用自然语言描述数学概念到用集合语言描述数学概念的抽象过程，感知用集合语言思考问题的方法，体会将实际问题数学化的过程.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时填一填·知识要点、记下疑难点1．列举法：把集合中的元素_______________写在大括号内的方法．符号表示为___________．2．描述法：用___________表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法叫描述法．格式：_____________．3．集合按所含元素多少分类：(1)有限集——含有________元素的集合；(2)无限集——含有_________元素的集合；(3)∅表示______，即不含任何元素的集合.一一列举出来{，…，}确定的条件{x∈A|P(x)}有限个无限个空集本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时研一研·问题探究、课堂更高效问题情境：上节课我们学习了用大写字母表示常用的几个数集，但是这不能体现出集合中的具体元素是什么，并且还有大量的集合不能用大写字母表示，事实上表示一个集合关键是确定它包含哪些元素，为此，我们有必要学习集合的表示方法还有哪些？分别适用于什么情况？本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时研一研·问题探究、课堂更高效探究点一列举法表示集合问题1如果一个集合仅含有几个元素，要表示出这个集合，一个很自然也很方便的方法是用这个集合的元素来表示集合，这就是列举法，那么如何给列举法下一个严谨的定义呢？答列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法．符号表示为{，…，}．问题2由book中的字母组成的集合能否表示为：{b，o，o，k}?答不能，由集合元素的互异性知，可表示为{b，o，k}．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时研一研·问题探究、课堂更高效问题3集合{x，y}与{(x，y)}有什么不同？答集合{x，y}表示含有两个元素的集合；{(x，y)}表示含有一个元素的集合．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时研一研·问题探究、课堂更高效例1用列举法表示下列集合：(1)由大于3小于10的整数组成的集合；(2)方程x2－9＝0的解的集合．解(1)由大于3小于10的整数组成的集合用列举法可表示为{4,5,6,7,8,9}；(2)方程x2－9＝0的解的集合用列举法可表示为{－3,3}．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时研一研·问题探究、课堂更高效小结对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：(1)元素之间用“，”而不是用“、”隔开；(2)元素不能重复；(3)不考虑元素顺序．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1请用列举法表示下列集合：(1)小于5的正奇数；(2)能被3整除且大于4小于15的自然数；(3){15以内的质数}；(4)x|63－x∈Z，x∈Z.解(1)满足条件的集合为{1,3}；(2)满足条件的集合为{6,9,12}；(3)满足条件的集合为{2,3,5,7,11,13}；(4)满足条件的集合为{2,4,1,5,0,6,－3,9}．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时研一研·问题探究、课堂更高效探究点二描述法表示集合问题1用列举法能否表示大于3小于10的实数组成的集合？为什么？答不能，因为集合中有无数多个元素，无法全部列举出来．问题2如何用数学符号表示大于3小于10的全体实数？答3＜x＜10，x∈R.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时研一研·问题探究、课堂更高效问题3大于3小于10的实数组成的集合用描述法可表示为{x∈R|3＜x＜10}，那么如何定义描述法呢？答用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法叫描述法．格式：{x∈A|P(x)}．若一个集合中的元素都是在实数范围内，如{x∈R|3＜x＜10}可简记为{x|3＜x＜10}．问题4{x∈A|P(x)}的含义是什么？答含义是在集合A中满足条件P(x)的x的集合．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时研一研·问题探究、课堂更高效问题5集合{x|x－3，x∈R}＝{y|y－3，y∈R}成立吗？为什么？由此说明了什么？答成立．因为它们都表示小于－3的实数组成的集合．说明了描述法表示集合与代表元素所用的字母无关．问题6什么类型的集合适合用描述法表示？答描述法多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时研一研·问题探究、课堂更高效例2用描述法表示下列集合：(1)小于10的所有有理数组成的集合；(2)所有偶数组成的集合．解(1)小于10的所有有理数组成的集合用描述法可表示为{x∈Q|x10}；(2)偶数是能被2整除的数，可以写成x＝2n(n∈Z)的形式，因此，偶数的集合用描述法可表示为{x|x＝2n，n∈Z}．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时研一研·问题探究、课堂更高效小结描述法表示集合时，可能有不同的形式，如本例中所有偶数组成的集合也可表示为{x|12x∈Z}．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2用适当的方法表示下列集合：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合．解(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，所以方程的解集为{(2，－3)}．(2)“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时研一研·问题探究、课堂更高效探究点三集合的分类问题集合按所含元素的多少如何分类？答(1)有限集——含有有限个元素的集合．(2)无限集——含有无限个元素的集合．(3)空集——不含有任何元素的集合，记作∅.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时研一研·问题探究、课堂更高效例3解不等式2x－35，并把结果用集合表示．解由不等式2x－35，知x4.所以原不等式解集是{x∈R|x4}＝{x|x4，x∈R}＝{x|x4}．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时研一研·问题探究、课堂更高效小结对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法．用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义．本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3求方程x2＋x＋1＝0的解集．解因为x2＋x＋1＝0没有实数解，所以{x|x2＋x＋1＝0，x∈R}＝∅.本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时练一练·当堂检测、目标达成落实处1．方程组x＋y＝3x－y＝－1的解集不可表示为()A．{(x，y)|x＋y＝3x－y＝－1}B．{(x，y)|x＝1y＝2}C．{1,2}D．{(1,2)}解析方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C不符合．C本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时练一练·当堂检测、目标达成落实处2．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10解析∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的个数为10.D本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时练一练·当堂检测、目标达成落实处3．方程组x＋y＝2x－y＝5的解集用列举法表示为_____________；用描述法表示为_________________．解析因x＋y＝2，x－y＝5，解方程组，得x＝72，y＝－32，则用列举法表示为{(72，－32)}；用描述法表示为{(x，y)|x＋y＝2x－y＝5}．{(72，－32)}{(x，y)|x＋y＝2x－y＝5}本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时练一练·当堂检测、目标达成落实处4．已知A＝{－2，－1,0,1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则B＝____________.解析∵y∈A，∴y＝－2，－1,0,1，此时|y|＝0,1,2，则有B＝{0,1,2}．{0,1,2}本课时栏目开关填一填研一研练一练§1第2课时练一练·当堂检测、目标达成落实处1．表示一个集合可以用列举法、描述法，有些集合用大写字母表示，如：自然数集记作N，正整数集记作N*或N＋，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.2．列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般无限集，不宜采用列举法．一个集合并不是只要是有限集就用列举法表示，只要是无限集就用描述法表示，在某种情况下，两种方法都可以．3．空集∅是不含任何元素的集合，本节课仅仅是认识，空集在解决问题时所起的作用及其性质在下一节将研究.本课时栏目开关填一填研一研练一练