1.1.1 数列极限的定义

1.1数列的极限一、极限思想及其发展2、极限的思想及地位极限思想是近代数学的重要思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。1、极限的概念及地位极限是微积分中的基础概念，指变量在一定的变化过程中，总体上逐渐稳定的一种变化趋势以及所趋向的值。《庄子·天下篇》一尺之棰日取其半万世不竭。3、极限思想的发展极限概念的形成经历了漫长的岁月。（1）两千多年前，我国的惠施就在庄子的《天下篇》中提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这是我国古代极限思想的萌芽。1，不为零，但无限接近零1/2，1/4，1/8，1/16，……,1/32，1,......2n趋于稳定值0极限割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.（2）公元3世纪，我国的刘徽圆内接多边形来推算圆面积的方法——割圆术。这是我国古代极限思想的在几何上的应用。22=sin2nZnRSn222(=limsin)2YnnRSRn此准确求得圆面积的公式应用“割圆术”的思想，但并非刘徽求圆面积的算法。附：刘徽割圆术算法简述2.从勾股定理出发，求正十二边形的边长。如图，继续根据勾股定理，从圆内接正n边形边长，求出圆内接正2n边形边长。刘徽指出利用π=3这一数值算得的结果是圆内接正十二边形的面积而非圆面积。他由圆内接正六边形算起，逐渐把边数加倍，算出正12边形、正24边形、正48边形、正96边形……的面积。这样继续分割下去,所得多边形的面积就无限接近于圆面积。1.已知圆内接正六边形每边的长等于半径。如图：0A=OB=AB=R22224ACRRRR3.从圆内接正n边形边长，可以求圆内接正2n边形面积。如图，四边形OACB面积等于半径OC和正六边形边长AB乘积的一半。4.圆面积S满足不等式：S2n＜S＜S2n＋2（S2n－Sn）（分割的次数越多S-Sn越小，S也就越精确。）5.最后将与圆合体的正多边形分割成无穷个以圆心为顶点，每边长为底的小等腰三角形，于是有（L为圆周长）。所以，2LRS2LRS附：定量分析1234567…项号边数内接多边形周长2412632.5980762113533.0000000000003.1058285412303.132628613281483.139350203047963.1410319508911923.141452472285……………（3）古希腊人（欧多克索斯）创造的穷竭法也蕴含了极限的思想，结合归谬法用于数学证明。穷竭法对几何图形“分割求和”的形式为积分的雏形，其思想是积分的直接源泉。（穷竭法完成证明一般分为两个步骤：首先是一个称为“穷竭”的逼近过程，然后用“双重归谬法”完成证明。）111428DEFFICGICFABCVShShSh例：用穷竭法求三棱锥的体积公式。连接各边中点，将原三棱锥分成两个小三棱柱和两个小三棱锥，有18DGHEIBVSh同理，所以两三棱柱体积和14Sh再对两个小三棱锥做同样的分割，得到四个小三棱柱的体积和为22112,...44AGHDVShSh2111(......)444nnVSh11(1)44Sh13Sh（4）17世纪，牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）在总结前人经验的基础上，创立了微积分。()fxSt0x到18世纪，基本弄清了极限的描述性定义。如牛顿用路程的改变量与时间的改变量的比值表示物体的平均速度，让无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，那么“极限”直观地描述为“若当自变量x无限趋近于时，函数无限趋近A，则称以A为极限”。Stt（5）1821年法国数学家柯西在他的《分析教程》中进一步提出了极限定义的方法，把极限过程用不等式刻划，后经德国数学家维尔斯特拉斯进一步加工，成为现在所说的柯西极限定义或叫“”定义。不严格定义严格定义nxnxnN如果按照某一法则，对每一个,对应着一个确定的实数,这些实数按下标n从小到大排列得到的序列nx二、数列极限的定义1.数列的定义例如:2,4,8,...,2,...;n11,1,1,...,(1),...;n114(1)2,,,...,,...;23nnn2,22,...,22...2,...数列中的每一个数叫做数列的项,第n项叫做通项.nx称为数列，记为可视为一种定义域为正整数的整标函数:nx数列的两种几何表示：在数轴上在平面上x1x2x2Nx1Nx3xn)(nf12437…56)(nfxn2.数列极限的定义观察数列(1)时的变化趋势当nnxn110nn当时，观察数列(2)时的变化趋势1(1)1,nnn.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn对于一般的数列{xn}，总会出现两种情形：当n时，xna，当n时，xn不趋于任何确定的数。例如：102nnnx.11nnnxn.11132nnnnxa.sinnnxna.1x221344356limnnxa如上举例的数列：143652,,,,,...,23456（1）数列极限的描述性定义1(1)1,...nn1(1)lim(1)1nnn（否则称数列发散）一般地，在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列{xn}中的xn无限趋近于一个常数a，那么称数列{xn}收敛于a；a叫做数列{xn}的极限记作：微积分发展初期，人们往往从实际出发考虑问题，不太注重基础理论。随着究的深入和应用的广泛，出现了越来越多的含混和悖论，使得数学的发展又一次遇到令人不安的危机，产生这种危机的根本原因是极限理论问题。于是科学家们在完成了微积分基本理论后，又回过头来重新构建微积分基础。通过一大批优秀科学家近一个世纪的努力，终于建立了微积分严谨的基础，其核心就是今天的极限理论。（2）数列取极限过程的精确表达什么叫做xn无限接近于一个常数a？xn无限接近于一个常数a或xn趋向于a都是定性的描述，而非定量的和客观的表达，因为它依赖于考察者的主观判断。什么叫做n无限增大？n10000，n10100可否称作n无限增大？如果不能，n变化到什么样的值才能称为n无限增大？•xn→a的意义的定量表达第一步，如何定量表示xn与a的接近程度？从几何上看，xn与a均对应于数轴上的点，要表示两点xn与a的接近程度可通过二者之间距离的大小来表示，即通过|xn-a|的大小来表示。因此，xn→a的意义就是|xn-a|可任意地小。第二步，如何表示|xn-a|可任意地小？xn与a的接近程度可用不等式|xn-a|l来表示。l很小表示xn与a很接近。但任何确定的很小的数l均不能表示|xn-a|可任意地小。由于可任意小的具体数是不存在的，因此只有人为地建立这样一种“数”的概念，数学家柯西设想出了这样一种数，并用表示。表示可任意赋值的数，而一但赋于为某具体值，它就是通常的实数。于是xn-a可任意地小可表示为：对预先给定的可任意小的正数有xn-a.•xn→a过程的定量表达柯西的表示法不能完全表示极限xn→a.因为|xn-a|只表示了xn与a可任意接近的状态，但不足以表达xn→a的过程。这一过程显然和xn的下标n的变化有关。xn→a的过程是在n→的过程中逐步实现的，即|xn-a|并非是数列变化的初始状态，而是当n增大到一定程度时才发生。为定量表达n变化的程度可用一个正数N来刻划，即存在某正数N，使得当nN时有|xn-a|成立。另一方面，表示n增大程度的具体值N和预先给定的的大小有关。也就是N对有某种依赖关系，即N=N().一般而言，若取值较大，xn的下标不需变化到很大就有|xn-a|成立，相应N就较小。若取值较小，则xn的下标需变化到足够大，才可有|xn-a|成立，于是N就较大。然而为说明xn→a这一事实，N对的依赖关系N=N()的具体形式并不重要，重要的是|xn-a|总能发生或成立。也就是对xn的下标n变化而言，重要的是N=N()的存在性。项号项这一项与0的差的绝对值12345678…214181161321641128125615.0|021|25.0|041|125.0|081|0625.0|0161|03125.0|0321|015625.0|0641|0078125.0|01281|00390625.0|02561|…………………《庄子·天下篇》一尺之棰日取其半万世不竭。若要求接近度小于0.25，0.01,2n7n(0)12[log]n事实上，不论给多小的正数，总能找到对应的n（2）数列极限的“”定义（严谨定义）N转换:所以可以表示为limnnxanxaa“无限接近”与“无限接近0”意义相同nxlim0nnxa注意：;.1的无限接近与刻划了不等式axaxnn..2有关与任意给定的正数N,limaxnn).(naxnaxn定义：:定义N.,,0,0limaxNnNaxnnn恒有时使成立，设为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数（不论它多小），总存在正整数N，nx使得nN时，不等式那么称常数a是数列的极限记为或nxx1x2x2Nx1Nx3x几何解释:2aaa.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaaxNnn数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：例1.1)1(lim1nnnn证明证：1nx1)1(1nnnn1,0任给,1nx要,1n只要,1n或所以,],1[N取,时则当Nn1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即例2.lim),(CxCCxnnn证明为常数设证CxnCC,成立,0任给所以,0,n对于一切自然数.limCxnn说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.,0例3.1,0limqqnn其中证明证：,0任给,0nnqx,lnlnqn],lnln[qN取,时则当Nn,0nq就有.0limnnq,0q若;00limlimnnnq则,10q若,lnlnqn例4.lim,0lim,0axaxxnnnnn求证且设证：,0任给.limaxnn故lim,nnxaQ,1axNnNn时恒有使得当axaxaxnnn从而有aaxna1练习题0!lim)2(11lim1nnnnnnnN）（定义证明：按11lim11,1,1,11111,0,111111nnnnNnNnnnnnnnnnn，所以时，则当取要使所以对于任意给的）因为（0!lim10!,1,0,,2,1,13210!2nnnnnnnnnNnNnnnnnnnnn所以，时，则当取从而对任意给的）因为（