直线与圆相交弦长问题

二、直线与圆相交弦长问题一、知识储备性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2＜r；性质2：由Ax＋By＋C＝0x－a2＋y－b2＝r2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0；性质3：若直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，半径为r，弦长为|AB|，则有|AB|22＋d2＝r2，二、典例练习[例]已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．解析：法一：法二：[练习]已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，求圆C的方程．解析：[练习已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．解析：三、类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有|AB|22＋d2＝r2，即|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．二、直线与圆相交弦长问题一、知识储备性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2＜r；性质2：由Ax＋By＋C＝0x－a2＋y－b2＝r2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0；性质3：若直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，半径为r，弦长为|AB|，则有|AB|22＋d2＝r2，二、典例与练习[例]已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．[解](1)法一：(几何法)如图所示，过点O作OC⊥AB.由已知条件得直线的斜率为k＝tan135°＝－1，∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.∵圆心为(0,0)，∴|OC|＝|－1|2＝22.∵r＝22，∴|BC|＝8－222＝302，∴|AB|＝2|BC|＝30.法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8，得2x2－2x－7＝0.∴x1＋x2＝1，x1x2＝－72，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1[x1＋x22－4x1x2]＝30.(2)如图，当弦AB被点P平分时，OP⊥AB，∵kOP＝－2，∴kAB＝12，∴直线AB的方程为y－2＝12(x＋1)，即x－2y＋5＝0.[练习已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，求圆C的方程．解：设圆心坐标为(3m，m)．∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为|2m|2＝2|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.[练习已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．[解]法一：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.三、类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有|AB|22＋d2＝r2，即|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．