广东省六校联盟2020届高三上学期第一次联考数学(理)试题

2020届六校联高三第一次联考试题理科数学命题学校：深圳实验学校一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设2()4()fxxxxR，则()0fx的一个必要不充分条件是（）A.0xB.0x或4xC.|1|1xD.|2|3x2．设复数z满足11ziz，则||z等于（）A.1B.2C.3D.23．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）A.24310rrrrB.42130rrrrC.42310rrrrD.24130rrrr4．已知函数2()2cosfxxx，若()fx是()fx的导函数，则函数()fx的图象大致是（）ABCD5．已知函数在处取得极值，若，则的最小值为（）A.4B.2C.0D.26．如图所示，在正方体1111ABCDABCD中，E为棱1BB的中点，用过点A、E、1C的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（）ABCD7．已知椭圆E：22221(0)xyabab的右焦点为(3,0)F，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB32()4fxxax2x[1,1]m()fm的中点坐标为(1,1)，则E的方程为（）A.2214536xyB.2213627xyC.2212718xyD.221189xy8．若函数cos2sinfxxax在区间,62上是减函数，则a的取值范围是（）A.2,4B.,2C.,4D.4,9．某校高三年级有男生220人，学籍编号为1，2，…，220；女生380人，学籍编号为221，222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10)，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈，则这3人中既有男生又有女生的概率是（）A.15B.310C.710D.4510．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个x、y都小于1的正实数对,xy；再统计x、y两数能与1构成钝角三角形三边的数对,xy的个数m；最后再根据统计数m估计的值，假如统计结果是35m，那么可以估计的值约为（）A.227B.4715C.5116D.19611．已知数列{}na满足1=1a，*1=2()nnnaanN，则2019S等于（）A.201921B.1010323C.101123D.101032212．已知函数2()(2)sin(1)1xfxxxxx在[1,3]上的最大值为M，最小值为m，则Mm（）A.1B.2C.3D.4二、填空题：13．1||-1xedx值为______．14．已知{}na、{}nb都是等差数列，若110+=9ab，38+=15ab，则56+=ab______．15．抛物线22(0)ypxp的焦点为F，其准线与双曲线221yx相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p______．16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinesetriangle)如图1.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：111rrrnnnCCC，其中n是行数，rN.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是______．图1图2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17．已知ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，向量(cos,cos)mBC，(2,)nacb，且mn.(1)求角B的大小；(2)若3b，求ac的取值范围．18．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元．(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？19．如图，在四棱锥PABCD中，PDABCD平面，ABDC∥，ABAD，6DC，8AD，10BC，45PAD，E为PA的中点．(1)求证：DEBPC∥平面；(2)线段AB上是否存在一点F，满足CFDB？若存在，请求出二面角FPCD的余弦值；若不存在，请说明理由．20．已知动圆P经过点(1,0)N，并且与圆22:(1)16Mxy相切．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)设(,0)Gm为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A，B两点，当k为何值时，22||||GAGB是与m无关的定值，并求出该定值．21．设函数2()ln(1)fxaxxbx，曲线yfx过点2(,1)eee，且在点1,0处的切线方程为0y.(1)求a，b的值；(2)证明：当1x时，2()(1)fxx；(3)若当1x时，2()(1)fxmx恒成立，求实数m的取值范围．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4―4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线1cos:sinxtCyt(t为参数，0t)，其中0.在以O为极点x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sinC，3:23cosC.(1)求2C与3C交点的直角坐标；(2)若1C与2C相交于点A，1C与3C相交于点B，求||AB的最大值．23．[选修4―5：不等式选讲]已知函数()2|1||2|fxxx的最小值为m.(1)求m的值；(2)若a、b、c均为正实数，且满足abcm，求证：2223bcaabc.2020届六校联盟第一次联考理科数学试题参考答案一、选择题1.C2.A3.A4.A5.A6.C7.D8.B9.D10.D11.C12.B二、填空题13.22e14.2115.2316.111121211111rrrnnnnnnCCCCCC三、解答题17.解：（1）(cos,cos)mBC，(2,)nacb，且mn，(2)coscos0acBbC，由正弦定理，得cos(2sinsin)sincos0BACBC，2cossincossinsincos0BABCBC，即2cossinsin()sinBABCA.(0,)A，sin0A，1cos2B.0B，23B.（2）由余弦定理，得：222222222232cos()()()324acbacacacacacacacac…，又23b，2()4ac„，当且仅当ac时取等号．2ac„.故ac的取值范围是(3,2]．18.解：（1）由题意，X的所有可能取值为0,500,1000.则14117(0)552525PX，412(500)525PX，4148(1000)52525PX，∴某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望28()5001000520525EX，若选择方案乙进行抽奖，中奖次数2~3,5B，则26()355E，抽奖所获奖金X的期望()(400)400()480EXEE，故选择方案甲较划算．19.(1)证明：取PB的中点M，连接EM和CM，过点C作CNAB，垂足为点N.在平面ABCD内，CNAB，DAAB，CNDA∥，又ABCD∥，∴四边形CDAN为平行四边形，8CNAD，6DCAN，在RtBNC△中，22221086BNBCCN，12AB，而E，M分别为PA，PB的中点，EMAB∥且6EM，又DCAB∥，EMCD∥且EMCD，四边形CDEM为平行四边形，DECM∥.CMPBC平面，DEPBC平面，DEBPC∥平面.(2)解：由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则(8,0,0),(8,12,0),(0,6,0),(0,0,8)ABCP．假设AB上存在一点F使CFBD，设点F的坐标为(8,,0)(012)tt，则(8,6,0)CFt，(8,12,0)DB，由0CFDB，得23t.又平面DPC的一个法向量为(1,0,0)m，设平面FPC的法向量为(,,)nxyz．又(0,6,8)PC，168,,03FC.由0,0,nPCnFC得680,1680,3yzxy即3,42,3zyxy不妨令12y，则(8,12,9)n．则22288cos,||||1718129nmnmnm.又由图可知，该二面角为锐二面角，故二面角FPCD的余弦值为817.20．解：(1)由题设得||||4||2PMPNMN，∴点P的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆，24,22ac，223bac，∴点P的轨迹C的方程为22143xy.(2)设1122,,,,(,0)(22)AxyBxyGmm，直线:()lykxm，由22(),1,43ykxmxy得222223484120kxkmxkm，2122843mkxxk，2212241243kmxxk，12121226243mkyykxmkxmkxxkmk.22222221212121223443kmyykxmxmkxxkmxxkmk.2222221122||||GAGBxmyxmy22212121212122222xxxxmxxmyyyy2222226432434143mkkkk.22||||GAGB的值与m无关，2430k，解得32k.此时22||||7GAGB.21．(1)解：由题意可知，2()ln(1)fxaxxbx的定义域为(0,)，()2ln(0)fxaxxaxbx，(1)0fab，222(e)e(e1)ee1ee1faba，1,1ab.(2)证明：2()ln1fxxxx，222()(1)lnfxxxxxx，设22()ln(1)gxxxxxx…，则()2ln1gxxxx.由()2ln10gxx，得gx在[1,)上单调递增，()(1)0gxg…，gx在[1,)上单调递增，()(1)