【全国市级联考word】江苏省苏州市2018届高三调研测试(三)数学试题

苏州市2018届高三调研测试（三）数学第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.已知集合1,3,Am，3,5B，若BA，则实数m的值为__________.2.已知i是虚数单位，复数12aii的实部与虚部互为相反数则实数a的值为__________.3.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度到350度之间，频率分布直方图如图所示．则在这些用户中，用电量落在区间)200[250，内的户数为__________.4.从1，2，3，4这四个数中随机地选取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率为__________.5.下图是一个算法的流程图，则输出的k的值为__________.6.已知双曲线221(0)4xymm的离心率为3，则其渐近线方程为__________.7.若不等式组0,34,34xxyxy所表示的平面区域被直线43ykx分为面积相等的两部分，则实数k的值为__________.8.若数列na的前n项和nS满足3(1)2nnSa*nN，则4a的值为__________.9.现用一半径为10cm，面积为280cm的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm.10.已知向量(1,2)a，(2,4)b，5c，若52abc，则,ac的夹角大小为__________.11.设正实数,xy满足9xyxyyx，则y的最小值是__________.12.在平面直角坐标系xOy中，已知圆22:(4)4Cxy和点2,2Q，过点(0,3)P作直线l交圆于,AB两点，则QAQB的取值范围是__________.13.如果函数()yfx在其定义域内总存在三个不同实数123,,xxx，满足2()1(1,2,3)iixfxi，则称函数()fx具有性质.已知函数()xfxae具有性质，则实数a的取值范围为__________.14.已知实数,,2,2abc，且满足0abc，则333abc的取值范围是__________.第Ⅱ卷（共90分）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知ABC中，若角,,ABC对应的边分别为,,abc，满足14cos0aCa，1b.(1)若ABC的面积为32，求a；(2)若6A，求ABC的面积.16.如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面 ADNM平面ABCD，点P为DN的中点，点 E为 AB的中点.(1)求证：BDMC；(2)求证：//AP平面NEC.17.某“T”型水渠南北向宽为4m，东西向宽为2mm，其俯视图如图所示．假设水渠内的水面始终保持水平位置.(1)过点A的一条直线与水渠的内壁交于 PQ，两点，且与水渠的一边的夹角为（为锐角），将线段PQ的长度l表示为的函数；(2)若从南面漂来一根长度为7m的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？试说明理由．18.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,FF,焦距为2，一条准线方程为2x，P为椭圆C上一点，直线1PF交椭圆C于另一点Q.(1)求椭圆C的方程；(2)若点P的坐标为0,b，求过2,,PQF三点的圆的方程；(3)若11FPQF，且1,22，求OPOQ的最大值.19.已知数列na，nb满足：对于任意的正整数n，当2n时，22121nnnaban.(1)若1nnb，求222128aaa的值；(2)若数列na的各项均为正数，且12,1nab，设11124naniS，12nnTaaa，若对任意*nN，nnST恒成立，求的最小值.20.已知函数32()33fxxxax，()fx在1x处取极大值，在2x处取极小值.(1)若0a，求函数()fx的单调区间和零点个数；(2)在方程1()()fxfx的解中，较大的一个记为3x；在方程2()()fxfx的解中，较小的一个记为4x，证明：4132xxxx为定值；(3)证明：当1a时，()lnfxx.苏州市2018届调研测试（三）参考答案一、填空题1.52.-33.224.135.76.2yx7.738.-819.12810.120°11.31012.4,613.1,e14.6,6二、解答题15.解：(1)由113sinsin222SabCaC得sin3aC，即3sinCa.又14cosaCa，那么222214816cos16(1sin)16aCCaa，即4214490aa，得到27a，即有7a.(2)由题意有14cosaCa及余弦定理222cos2abcCab有2222221142acabcaaaba，即22213ac，①又由2222cosbcabcA可知2213cac，②由①②得到23360cc，亦即3230cc，可知3c或23c.经检验，3c或23c均符合题意；那么ABC的面积为13sin22SbcA或34.16.证明(1)连接AC，因为四边形ABCD，是菱形，所以ACBD，又ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，所以AM平面ABCD.因为BD平面ABCD，所以AMBD.因为ACAMA，所以BD平面MAC.又MC平面MAC，所以BDMC.(2)取NC的中点S，连接,PSSE.因为////PSDCAE,12PSAEDC,所以四边形APSE是平行四边形，所以//APSE.又SE平面NEC，AP平面NEC，所以//AP平面NEC.17.解(1)由题意，2sinPA，4cosQA，所以24(0)sincos2lPAQA(2)设24()sincosf，02由3322222cos4sin2(22sincos)()sincossincosf，令'()0f，得02tan2.且当0(0,)，'0f；当0,2，'()0f，所以f在00,上单调递减，在0,2上单调递增，所以当0时，f取得极小值，即为最小值．当02tan2时，01sin3，02cos3，所以f的最小值为36，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为36m.因为367，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.答：竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．18.解(1)由题意得222,2,cac解得21,2ca，所以2221bac.所以椭圆的方程为2212xy.(2)因为(0,1)P,1(1,0)F，所以1PF的方程为10xy.由2210,1,2xyxy解得0,1,xy或4,31,3xy所以点Q的坐标为41,33.设过2,,PQF三点的圆为220xyDxEyF，则10,10,17410,933EFDFDEF解得114,,333DEF.所以圆的方程为221140333xyxy.(3)设11,Pxy，22,Qxy，则111(1,)FPxy，122(1,)QFxy.因为11FPQF，所以12121(1),,xxyy即12121,,xxyy所以22222(1)12xy，222212xy，解得2132x.所以212122221OPOQxxyyxxy222(1)2xx213131222751()48因为1,22，所以12，当且仅当1，即1时取等号.所以12OPOQ,即OPOQ的最大值为12.19.20.解(1)当0a时，32()33fxxx，2'()36fxxx；当'()0fx时，2x或0x；当'()0fx时，02x；即函数()fx的单调增区间为,0,2,；单调减区间为0,2；又(1)10f，(0)30f，(2)10f，(3)30f，所以()fx有3个零点.(2)因为1()()fxfx，则32321113333xxaxxxax，可知323211133xxaxxxax.因为1'()0fx，即21163axx，即332222111111133323xxxxaxaxxxxxxxx211(23)0xxxx.可知3132xx，同理，由2()()fxfx可知332222222222222233(3)23()(23)0xxxxaxaxxxxxxxxxxxx；得到4232xx；4121213212113211(2)13211xxxxxxxxxxxx.(3)要证32()33lnfxxxaxx，即要证3233lnxxxax.设32()33(0)uxxxx，则2'()36uxxx；当'()0ux时，2x；当'()0ux时，02x；可知min()(2)1uxu；再设()ln(0)vxxaxx，则1'()vxax；当'()0vx时，10xa；当'()0vx时，1xa；可知，max1()ln1vxvaa.因为1a，所以11a，ln11a，且()vx和()ux分别在1a和2处取最大值和最小值，因此()()vxux恒成立，即当1a时，()lnfxx.(3)另证：一方面，易证ln1xx；（略）另一方面，当1a时，32323333xxaxxxx；又3223311(2)0xxxxxx；所以，323233331lnxxaxxxxxx，且不存在正数x，使得其中等号同时成立，故()lnfxx.