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等差数列前n项和数学与统计学院090901210李雪娟一、复习：１、等差数列：ａｎ－ａｎ－１＝ｄ（ｎ≧２，ｎ∈Ｎ＋）２、等差数列通项式：ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ小故事：高斯是伟大的数学家，天文学家。１０岁时一次老师说：现在给大家出道题：１＋２＋…＋１００＝？过了两分钟，正当大家在：１＋２＝３；３＋３＝６…算的不亦乐乎时，高斯站起来回答说：１＋２＋…＋１００＝５０５０．老师问他怎样计算的，他回答说：1+100=101；2+99=101；…５０＋５１＝１０１，所以１０１×５０＝５０５０．这个故事告诉我们求等差数列前ｎ项和的一种很重要的思想方法，就是我们要介绍的“倒序相加”法。二、等差数列前ｎ项和公式１：对等差数列ａ１，ａ２，…，ａｎ前ｎ项求和，得Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａｎ，Ｓｎ＝ａｎ＋ａｎ－１＋ａｎ－２＋．．．＋ａ２＋ａ１，上面两式相加得：２Ｓｎ＝（ａ１＋ａｎ）＋（ａ２＋ａｎ－１）＋（ａ３＋ａｎ－２）＋．．．＋（ａｎ＋ａｎ）()2n１ｎａ＋ａ因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…，所以2Sn=n(a1+an)Sn=（1）2、等差数列前n项和公式2Sn=1(1)2nndna用上述公式（1）要求Sn必备三个条件：n,a1,an,但an=a1+(n-1)d，带入公式（1）即得（2）公式（2）又可化为Sn=21()22ddann当d≠0时，这是一个常数项为零的关于n的二项式.三、讲解例题：例1、一堆放铅笔的V型架的最下层放一支铅笔，往上每一层都比它下一层多放一支，最上层放120支，问：这个V型架上共放多少支铅笔？解：由题意知，这个V型架上共放120层铅笔且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为{an}其中a1=1,a120=120,根据等差数列前n项和公式得:S120=120(1120)2=7260（支）答：V型架上共有7260支铅笔。例2、等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？解：设题中的等差数列为{an}，前n项和为Sn，则：a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,有公式（2）可得：(1)104542nnn解之得：n1=9,n2=-3（舍）所以等差数列-10，-6，-2，2，…前9项和是54.四、巩固练习1、求集合M={m/m=7n,n∈N＋且m＜100}的元素个数，并求这些元素的和。2、已知一个等差数列的前100项和是310，前20项的和是1220，求其前n项和公式.五、课后作业已知等差数列的前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项和。下课！