正交函数基本概念

第四章傅里叶变换和系统的频域分析本章要点：傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质周期信号和非周期信号的频谱分析周期信号的傅里叶变换LTI系统的频域分析取样定理信号分解为正交函数与矢量分解为正交矢量类似一、正交矢量：定义：如果两个矢量和相互垂直，则称和为正交矢量。1A2A1A2A设在平面上，两个矢量和夹角为，在上的投影为1A2A1A2A212Ac1A2A212AcE§4.1信号分解为正交函数其误差矢量为：1、要用一个矢量分量去代表原矢量，当分量是原矢量的垂直投影时，误差矢量最小：221212cosAAAAc1A2A212AcE若用来近似表示，则表达式为：212Ac1A2121AcA2121AcAE222112AAAc§4.1信号分解为正交函数02212112AcAdcd2、若从解析角度考虑c12的取值问题，可令误差矢量的平方最小：222112AAAcC12标志着两个矢量相互接近的程度。§4.1信号分解为正交函数二、正交函数：设在时间区间（t1，t2）内，两函数f1(t)，f2(t)。用f1(t)在f2(t)中的分量c12f2(t)来表示f1(t)。即：)()(2121tfctf21tttyxAAAxyxAyAA这个概念可推广到n维空间。平面上任意矢量在直角坐标系中可分解为两个正交矢量的组合。§4.1信号分解为正交函数设误差函数为：)()(2121tfctft为使f1(t)和f2(t)达到最佳近似，用均方误差：dttfctfttttt2122121122)()(1令0122dcd可得：§4.1信号分解为正交函数0)()(121221211212ttdttfctfttdcd0)(2)()(21212122122112ttttdttfcdttftftt0)()()(2)(121222122112211212ttdttfctftfctfttdcd§4.1信号分解为正交函数2121222112)()()(ttttdttfdttftfc当c12为0时，表示两个函数正交。c12为f1(t)与f2(t)的相关系数。由此，给出正交函数的定义：§4.1信号分解为正交函数1、在[t1,t2]区间上定义的非零实函数f1(t)与f2(t)，若满足条件：)94.1(0)()(2121ttdttftf则函数f1(t)与f2(t)为区间[t1,t2]上的正交函数2、若f1(t)与f2(t)是复变函数，则f1(t)与f2(t)在[t1,t2]区间上正交的条件是：)124.1(0)()()()(21212121dttftfdttftftttt正交函数的定义：§4.1信号分解为正交函数三、正交函数集：定义：在[t1,t2]区间上定义的n个非零实函数集g1(t),g2(t),…,gn(t)，其中任意两个函数gi(t)、gj(t)均满足：)134.1(kdt(t)gji0(t)dtg(t)gi2iji2121tttt其中，ki为常数，称此函数集为正交函数集§4.1信号分解为正交函数任意一个函数f(t)在区间[t1,t2]内，可以用这n个正交函数的线性组合来近似表示：nrrrnntgctgctgctgctf12211)()(...)()()(在使近似式的均方误差最小的情况下，可分别求得系数c1,c2,…,cn：dttgctftttttnrrr2112221)()(1§4.1信号分解为正交函数令02idcd则：212121)()(1)()()(2ttiittittiidttgtfkdttgdttgtfcdttgctftttttnrrr2112221)()(1§4.1信号分解为正交函数四、完备正交函数集在区间[t1,t2]内，用正交函数集g1(t),g2(t),...,gn(t)，来近似表示函数f(t)，其方均误差为：dttgctftttttnrrr2112221)()(1若02limn则称此函数集为完备正交函数集。§4.1信号分解为正交函数所谓完备，是指对任意函数f(t)，都可以用一无穷级数表示：1)()(rrrtgctf此级数收敛于f(t)。上式即f(t)的正交分解。§4.1信号分解为正交函数常用的完备正交函数集:1、三角函数集：函数1，cost,cos2t,…,cosnt,...,sint,sin2t,…,sinnt,…,当所取函数有无限多个时，在区间[t0，t0+T]内组成完备正交函数集。其中T=2/2、复指数函数集：函数集ejnt,n=0,±1,±2,…,是一个复变函数集，在区间[t0，t0+T]内是完备正交函数集。§4.1信号分解为正交函数