08--初三数学培优专题(8)——相对运动思想解多动点最值问题

初三培优专题（8）第1页（共12页）相对运动思想解多动点最值问题相对运动思想：把原来的动点看做参，这样动变成了静，静变成了动。注意相对运动的轨迹。使用条件是：1.运动的点多余静态的点（注意这里说的不是所有点是和问题有关的点）2.动点是多个，但必须是严格联动，也就是动点围成的图形不会放缩，不会变形，所以题目往往是以一个图形的整体运动作为条件。典型问题【例1】（2012•济南13题）如图，90MON，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中2AB，1BC，运动过程中，点D到点O的最大距离为()A．21B．5C．1455D．52分析：显然点D的轨迹比较复杂，直接去求OD的最值不容易，能从其他方面入手吗？初三培优专题（8）第2页（共12页）下面给出3种方法：方法1：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，ODOEDE，当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，2AB，1BC，112OEAEAB，2222112DEADAE，OD的最大值为：21．故选：A．法2：（初三解法）我们还应深入思考点E的轨迹，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，AB为定长＝2，则OE＝1，O为定点，则E点的轨迹在图中为四分之一圆弧，则问题转化为圆外有一点D，已知其到圆上一点E的距离确定，圆的半径也已确定，要求点D与圆心O距初三培优专题（8）第3页（共12页）离的最大值．显然当O、E、D三点共线时，OD取到最大．法3：（运动相对性，定边对定角——隐圆）本题中，我们深入挖掘题目的本质，不难发现，AB为定值2，而△OAB中，AB的对角∠O始终为定值90°，根据上一讲“定弦定角必有圆”，可以构造△OAB的外接圆⊙E，E为AB中点，我们把AB固定，则点D固定，此时点O就变为动点，问题转化为求⊙E上一动点O到圆外一定点D距离的最大值．显然当动点与圆心，及圆外定点在同一直线上时，距离最大【变式1】（2009•潍坊）已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC的长的最大值是．【解答】解：取AB中点D，连OD，DC，有OCODDC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是ODCD．ABC为等边三角形，ABBCACa，根据三角形的性质可知：12ODa，223()22aCDaa．132OCa故答案为：132a．初三培优专题（8）第4页（共12页）【点评】直角三角形斜边中点到三顶点距离相等，即等于斜边的一半．【例2】如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且2EF，连接AE、AF，则AEAF的最小值为()A．25B．32C．92D．225解：如图作//AHBD，使得2AHEF，连接CH交BD于F，则AEAF的值最小．AHEF，//AHEF，四边形EFHA是平行四边形，EAFH，FAFC，AEAFFHCFCH，四边形ABCD是正方形，ACBD，//AHDB，ACAH，初三培优专题（8）第5页（共12页）90CAH，在RtCAH中，2225CHACAH，AEAF的最小值25，故选：A．【变式1】2019年成都中考24题如图，在边长为1的菱形ABCD中，60ABC.将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，B'C，则A'C+B'C的最小值为3【例23（2018天津第3问）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点(0,0)O，点(5,0)A，点(0,3)B．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．记K为矩形AOBC对角线的交点，S为KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【解答】方法1：如图③中，当点D在线段BK上时，DEK的面积最小，最小值1134303343(5)2224DEDK，初三培优专题（8）第6页（共12页）当点D在BA的延长线上时，△DEK的面积最大，最大面积1134303343(5)2224DEKD．综上所述，303343033444S．旋转出隐圆如右图，以A为圆心，AO为半径作圆，过点K作直径D1D2，当点D与点D1重合时，S△KDE取最小值为303344当点D与点D2重合时，S△KDE取最大值为303344，故S的取值范围为303343033444S.反思：旋转的本质是图形上的每一个点绕旋转中心在同心圆上作同步运动，故而旋转出隐圆.本题的难点是最后一问，这里首先作出点D所在的轨迹圆⊙A，而DE始终为⊙A的切线且DE＝3，要使△KDE的面积取最值，只要使DE边上的高取最值即可；初三培优专题（8）第7页（共12页）如上图所示，过⊙A上的任意点D作切线DE，作KG⊥DE于点G，交⊙A于点R，再过点K作直径D1D2，则KG≥KR≥KD1，当且仅当点D与D1重合时，KG取最小值，此时△KDE的面积最小；另外，KG≤KD≤KD2，当且仅当点D与D2重合时，KG取最大值，此时△KDE的面积最大方法2：相对运动最后一问：正常动是四个动点有点唬人，其实相关的动点就俩，E和D，E，D都是绕A圆周运动，所以要看相关点，静态点相关的就是K下面是相对运动：让K运动，K绕点A圆周运动。更有趣的是，若持相对运动的观点来看本题，将更加简洁明了，具体如下：原题中，整个矩形AOBC在绕定点A顺时针旋转一周，而对角线的交点K保持不动，若反其道而行，视整个矩形AOBC不动，而交点K相当于在绕定点A逆时针旋转一周，旋转出隐圆，如图所示，作出点K所在的隐性圆⊙A，此时△KOB即为目标三角形，显然当OB边上的高取最值时，△KOB的面积也取得相应的最值.显然，⊙A与x轴的两个交点K1、K2即为要找的点，此时△K1OB取得最小值为303344且△K2OB取得最大值为303344，故S的取值范围为303343033444S【例4】如图，在ABC中，6AB，8BC，30ACB，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△11ABC．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点1P，则线段1EP长度的最小值为1．初三培优专题（8）第8页（共12页）解：ABC绕点B旋转，当11ABAC时，线段1EP长度的最小，30ACB，1130PCB，在Rt△11BPC中，18BC，14BP，E是AB的中点，6AB，3BE，11431PEBPBE，故答案为1．方法2：运动的相对性【变式1】（2012年义乌第3问）在锐角ABC中，4AB，5BC，45ACB，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△11ABC．如图，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点1P，求线段1EP长度的最大值与最小值．解：（3）①如图1，过点B作BDAC，D为垂足，初三培优专题（8）第9页（共12页）ABC为锐角三角形，点D在线段AC上，在RtBCD中，5sin4522BDBC，当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，ABC绕点B旋转，使点P的对应点1P在线段AB上时，1EP最小，最小值为：115222EPBPBEBDBE；②当P在AC上运动至点C，ABC绕点B旋转，使点P的对应点1P在线段AB的延长线上时，1EP最大，最大值为：1257EPBCBE．方法2：相对运动【变式2】如图，在RtOAB中，90AOB，4OAOB，以点O为圆心、2为半径画圆，点C是O上任意一点，连接BC，OC．将OC绕点O按顺时针方向旋转90，交O于点D，连接AD．连接BD，CD，当BCD的面积最大时，点B到CD的距离为．初三培优专题（8）第10页（共12页）解：当点C在O上运动到BCD是等腰三角形，且BO的延长线与CD垂直位置时，BCD的面积最大（如图2)，此时4OB，2OCOD，COD是等腰直角三角形，2sin45222OFOC，42BF．故答案为：42．方法2：相对运动更加直观，以CD不动，则B是绕O转圈。【变式3】如图，直线22yx与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数(0)kyxx的图象交于点M，过M作MHx轴于点H，且ABBM，点(,1)Na在反比例函数初三培优专题（8）第11页（共12页）(0)kyxx的图象上．（1）求k的值；（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得PMPN的值最小，求点P的坐标；（3）点N关于x轴的对称点为N，把ABO向右平移m个单位到△ABO的位置，当NANB取得最小值时，请你在横线上直接写出m的值，m．【解答】解：（1）把0x代22yx，得：2022y．点(0,2)B，即2BO，//BOMH，ABBM，12OBMH24MHBO，点M在22yx上，422x，1x，点M的坐标为(1,4)，M在反比例函(0)kyxx的图象上，41k，4k．（2）如图2所示，过点N作关于x轴的对称点N，连接MN，交x轴的正半轴于点P，则点P即为所求，此时PMPN的值最小．点(,1)Na是反比例函4(0)yxx图象上的点，41a，4a，点N的坐标为(4,1)，设直线MN的函数表达式ykxb，初三培优专题（8）第12页（共12页）414kbkb解53173kb51733yx，当0y时，175x，即点P的坐标为17(5，0)．（3）过点N作x轴的平行线，取A关于这条平行线的对称点A，连接AB的直线经过N设AB的解析式为：ykxb，代入平移后的(,2)Bm、(1,2)Am424yxm把(4,1)N代入，解得：4.75m．故答案为：4.75．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/4/422:01:19；用户：敖德兵；邮箱：13540197296；学号：25305682方法2：如下图，ABO为动点，其实O倒是没啥用，就算俩动点，静态点是N对称点N’，这么看不容易看出最短。相对运动一下，ABO不动，让N'动，在直线CD运动，其实就是将军饮马。