有限元习题

习题课山东理工大学交通学院李红艳公共邮箱：[e-mail]密码：123456Chapter2有限元分析的力学基础2.1p462.2p462.3p462.4p462.9p472.1分别对以下情形，写出所有基本变量，基本方程及边界田间，并指明各分量形式与指标形式变量之间的对应关系。1）1D情形2）2D情形解：1）1D情形：基本变量基本方程分量形式指标形式2）2D情形：基本变量2）2D情形——基本方程分量形式指标形式Chapter2有限元分析的力学基础2.2设平面问题的应力状态为若体积力为零，讨论下列各种情况下平衡方程是否满足？若不能满足，则在待定系数之间要满足什么样的关系才能满足平衡方程。解：对于平面问题，由平衡方程在体积力为零情况下，可有以下关系成立00xyxxxxyxxybxybxy298600aaaa2.3在体积力作用下，下列应力分布是否满足平衡条件（平面应力问题），就如图所示平面结构，给出该应力函数所表示的边界应力分布情况。解：对于平面问题，由平衡方程在体积力为零情况下，可有以下关系成立上两式成立，即平衡方程成立，方程满足平衡条件。00xyxxxxyxxybxybxy224400aaaa其应力边界条件如图所示正应力边界条件剪应力边界条件2.4对于平面应力问题，已知一点的应力状态，如图所示。求1）斜面上的应力表达式。2）最大主应力、最小主应力及此时斜面的方向余弦。2.9证明1：受纯剪作用的弹性体的应变能公式证明2：指标形式与分量形式的应变能计算公式的对应关系证明3：受弯梁应变能的表达式公式证明1：对于纯剪单元，其应力分量如图所示。此状态的力学基本变量为：我们先研究一对剪应力的情况。证明2：若证明等式成立，必须首先证明证明3：如图所示纯弯曲梁纯弯曲梁2.10对于不考虑体积力的平面应力问题，试证明由位移表达的平衡方程为2222211022vuxyxy证明：对于平面问题，由平衡方程00xyxxxyxxxyxy根据几何和物理方程可以得到用位移表示的应力公式为xyxyuxvyuvyx221121xxyxyxxyxyEEE221121xxxyEuvxyEvuyxEuvyx从而可以得到用位移表示的平衡方程整理得22222220211EuvEuvxyxyxy2222211022vuxyxy222222102uvuvxyxyxyChapter3有限元分析的数学求解原理3.1p873.3p883.4p883.1如图所示为一受均匀分布载荷的悬臂梁。1）用挠度方程写出精确解2）写出两种以上的许可位移场（试函数）3）基于许可位移（至少用一种），分别用以下几种原理求挠度曲线，并和精确解比较。xplEI解：1）对于此悬臂梁问题，用材料力学知识直接求解。4max8qlEI2）写出两种以上的许可位移场（试函数）121cos232coscos22xxclxxxcll00000:00:0xxxxBCuMEIBCpQEI最小势能原理作为一级近似，试函数仅仅取一项多项式的函数形式其中c为待定常数，该函数满足该问题的位移边界条件，所以是许可的位移函数，代入总的势能表达式有1cos2xvxcl24220004201ˆˆd()()d21cosd1cosd2222121222llllEIvxpxvxxxxEIcxpcxllllEIcpcll最小势能原理由最小势能原理得2ˆˆBC()BC()420ˆBC()1ˆˆminmind()()d212min1222iiilluuuuuuEIvxpxvxxlEIcpcll0c402122lEIcpll4043221plcEI40432211cos2plxvxEIl40max0.11937plvcEI最小势能原理40max0.125plvEI精确解伽辽金加权残值法当挠度取自变函数的试函数时，相应的加权残值法的伽辽金方程为寻找伽辽金加权残值法的试函数时，要从研究力边界条件入手，设积分得调整上式中的积分常数A、B，使得其满足固定端的边界条件。从而得到伽辽金加权残值法的试函数400ˆd01,2,3...lnEIvpxnn22d1sin2dvxclx0000xxMEIvQEIv2212sin22lxvcxAxBl从而进一步有求解得22122sin22llxvcxxcxl24200122ˆsind022lllxEIvpxxxl222002122sinsind0222llxllxEIcpxxxll200.469plcEI22201220.469sin22plllxvxxEIl400.126maxplvEI伽辽金法40max0.11937plvcEI最小势能原理40max0.125plvEI精确解残值的最小二乘法利用和伽辽金法一样的试函数，有直接积分得2(,)d0twc2402200ˆd02sind02tlwEIvplxEIcpll4222200043220022sin-2sin+d022122-4+=02llxlxEIcEIcppxllllEIcEIcppl残值的最小二乘法整理得从而可以计算得到c值，回代即可得到最终结果。43220022-8+2=0llEIcEIcppl3220022-804plEIccpEIl可见，伽辽金法的计算结果要比最小势能原理的一级近似解要好，这是因为这里所取得试函数的性能较好，它满足了所有的条件，而最小势能原理只能满足位移边界条件，如果选取的试函数一样满足所有的边界条件，那么利用伽辽金法和最小势能原理得到的结果一致。3.3设某一类1D物理问题的微分方程为边界条件为若采用下列试函数试用以下方法求解该问题1）加权残值法中的伽辽金法2）加权残值法中的最小二乘法3）瑞利-李兹法（当试函数（满足位移边界条件）取为许可基底函数的线性组合时，该原理所描述的方法也就叫做Rayleigh-Ritz）22d001dxx0=1=021211xcxxcxx3.4对于以下方程：边界条件为试推导出与它等效的泛函。若采用近似的函数求解时，试用泛函极值的方法求解待定参数。22ddxx00,11Chapter4杆梁结构的有限元分析原理4.1p1424.2与4.3类似，自拟。4.1如图所示的二力杆结构，E1=E2=2E6kg/cm2，A1=2A2=2cm2。1）写出各单元的刚度矩阵2）写出总的刚度矩阵3）求节点2的位移4）求各单元的应力解：由题意知，图中结构分为两个自然单元1和2，其节点为1、2和3。根据1）对于单元1对于单元22)3)求节点2的位移4)求各单元的应力4.2如图所示的桁架，求总刚方程，并求解节点位移。对于1，2，3有EA=1。x1231③1①②p45oy②解：1）单元分析对于单元1：取i=3，j=1，α=0o，q=[0,v3,u1,v1]T对于单元2：取i=1，j=2，α=45o，q=[u1,v1,0,v2]T111333111111131110-1010-1000000000-1010-101000000000kkEAkEAlkk2221112222222122111122221-1-111111-111-122221111-111-12222221-1-1111112222kkEAEAklkk对于单元3，取i=3，j=2，α=90o，q=[0,v3,0,v2]T333333233333232200-0-0000001-0-1010-10-0000000-0-1010-101kkEAkEAlkk2）整体分析，组集总刚。利用整体编号，对号入座的方法可以得总刚。1221111213223321222313133132331111110222222221111002222222211110022222222111110122222222100010000101kkkKkkkkkk3）列出总刚方程其展开式为PKq112233111111022222222111100022222222111100022222222011110101222222220100010000101upvuvuv考虑到边界条件，得修正后的刚度方程为求解得1121111222222011122222201111222222uvpv112212puvpvp同样，对于图示的桁架结构也应该会求解。（千万不要当成平面问题的三角形单元，切记！）x231③①②p45oy②4④对于桁架结构，能够写出以下表达式5.1类似于5.3（p202）5.5p2035.8p204Chapter5连续体的有限元分析原理5.3如图所示的平面应力问题，已知E，t，μ=0.3，求其单刚。ijmyaay类似问题的具体步骤参考书上的181页典型例题5.6（2）。5.5和5.8参考书上的p151页上的讨论部分。对于线弹性平面问题，能够写出以下表达式