高考数学2019-2020学年度高三期中模拟试卷(理科)

2019-2020学年度高三期中模拟试卷数学试题卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()sincosfxxx的最小正周期等于（）A．4B．2C．D．22.已知向量(1,2)a，(,2)bx，且ab，则||ab（）A．5B．5C．42D．313.已知x，y均为非负实数，且满足1,42,xyxy则2zxy的最大值为（）A．1B．12C．53D．24.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为（）A．829尺B．1629尺C．3229尺D．12尺5.设函数()2sin(2)6fxx，将()fx图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数()ygx，则()gx图象的一条对称轴方程为（）A．24xB．512xC．2xD．12x6.已知函数()xxfxeae为偶函数，若曲线()yfx的一条切线的斜率为32，则切点的横坐标等于（）A．ln2B．2ln2C．2D．27.若“1,22x，使得2210xx成立”是假命题，则实数的取值范围为（）A．(,22]B．22,3C．22,3D．=38.若函数2()1fxxx在1,1上有两个不同的零点，则的取值范围为（）A．[1,2)B．(2,2)C．(2,1]D．[1,1]9.设椭圆2211612xy的左右焦点分别为1F，2F，点P在椭圆上，且满足129PFPF，则12||||PFPF的值为（）A．8B．10C．12D．1510.已知函数21()1214xxfx满足条件(log(21))1af，其中1a，则(log(21))af（）A．1B．2C．3D．411.已知(0,)2x，则函数()sintancoscotfxxxxx的值域为（）A．[1,2)B．[2,)C．(1,2]D．[1,)12.设A，B在圆221xy上运动，且||3AB，点P在直线34120xy上运动，则||PAPB的最小值为（）A．3B．4C．175D．195第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.点(1,3)P关于直线220xy的对称点为Q，则点Q的坐标为．14.已知(,)2，且5sin5，则tan(2)4．15.设正实数1xy，则22+xyxy的取值范围为．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件2221bcabc，1coscos8BC，则△ABC的周长为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列na单调递增，记数列na的前n项之和为nS，且满足条件26a，326S．（1）求数列na的通项公式；（2）设2nnban，求数列nb的前n项之和nT．18.根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图．（1）已知[30,40)、[40,50)，[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；（2）该电子商务平台将年龄在[30,50)之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放80元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．19.已知四棱柱1111ABCDABCD的底面是边长为2的菱形，且3BAD，1AA⊥平面ABCD，11AA，设E为CD的中点．（1）求证：1DE⊥平面1BEC；（2）点F在线段11AB上，且//AF平面1BEC，求平面ADF和平面1BEC所成锐角的余弦值．20.已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为22，椭圆C和抛物线2yx交于M，N两点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点。（1）求椭圆C的标准方程；（2）经过椭圆C右焦点的直线l和椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且2OABP，其中O为坐标原点，求直线l的斜率．21.已知函数12()ln()221fxaxx．（1）若0a，且()fx在(0,)上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数()fx在(0,)上的最小值为1？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为sincos,sincos,xy（为参数）．（1）求曲线C的普通方程；（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为2sin()104，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求||AB．23.选修4-5：不等式选讲设函数()|21|fxx．（1）解关于x的不等式(2)(1)fxfx；（2）若实数a，b满足2ab，求22()()fafb的最小值．2019-2020学年度高三期中模拟试卷数学试题卷（理科）答案一、选择题题号123456789101112答案CADBDAACDBBD二、填空题13.1,114.1715.91,816.52三、解答题17.解：（1）设等比数列公比为q，则由已知121116,26,aqaaqaq解得12,3,aq或118,1.3aq因为na单调递增，只有12,3,aq从而11123nnnaaq．（2）2112(13)22231132nnnnniiinTainnn．18.解：（1）由于五个组的频率之和等于1，故：0.0151010100.015100.01101ab，且0.015abb，343101(240)30CPXC，21463103(210)10CCPXC，12463101(210)2CCPXC，363101(240)6CPXC，列表如下：X240210180150P1303101216数学期望1311240210180150186301026EX．19.（1）证明：由已知该四棱柱为直四棱柱，且△BCD为等边三角形，BE⊥CD，所以BE⊥平面11CDDC，故BE⊥1DE．因为△11CDE的三边长分别为112CEDE，112CD，故△11CDE为等腰直角三角形，所以1DE⊥1CE，结合1DE⊥BE知：1DE⊥平面1BEC．（2）解：取AB中点G，则由△ABD为等边三角形知DG⊥AB，从而DG⊥DC．以DC，DG，1DD为坐标轴，建立如图所示的坐标系，此时(0,0,0)D，(1,3,0)A，1(0,0,1)D，(1,0,0)E，1(1,3,1)A，1(1,3,1)B．设(,3,1)F，由上面的讨论知平面1BEC的法向量为1(1,0,1)DE，由于AF平面1BEC，故//AF平面1BEC，所以1AFDE，故10AFDE，故(1,0,1)(1,0,1)(1)10，所以0，故(0,3,1)F，设平面ADF的法向量为(,,)axyz，(1,3,0)DA，(0,3,1)DF，由0,0,DAaDFa知30,30,xyyz取3x，1y，3z，故(3,1,3)a．设平面ADF和平面1BEC所成锐角为，则112342cos7||||72aDEaDE，即平面ADF和平面1BEC所成锐角的余弦值为427．20．解：（1）由22ca知，可设2a，2c，2b，其中0，由已知(,)Mcc，代入椭圆中得2221ccab，即212122，解得2，从而22a，2b，2c，故椭圆方程为22184xy．（2）设11(,)Axy，22(,)Bxy，00(,)Pxy，由已知110202(,)2(,)xyxxyy，从而01212xxx，01212yyy，由于A，B，P均在椭圆2228xy上，故有221128xy，22228xy，22121211()2()822xxyy，第三个式子变形为2222112212121(2)(2)(2)84xyxyxxyy，将第一、二个式子代入得121222xxyy，（*）分析知直线l的斜率不为零，故可设直线l方程为2xmy，与椭圆联立得：22(2)440mymy，由韦达定理12242myym，12242yym，将（*）变形为：1212(2)(2)22mymyyy，即21212(2)2()60myymyy，将韦达定理代入上式得：228202mm，解得223m，因为直线的斜率1km，故直线l的斜率为62．21．解：（1）22224824'()21(21)(21)(21)aaxafxaxxaxx，由已知'()0fx在(0,)x时恒成立，即28240axa恒成立，分离参数得2241ax，右边0,2，所以正实数a的取值范围为2a．（2）假设存在这样的实数a，则()1fx在(0,)x时恒成立，且可以取到等号，故(1)1f，即12ln()123a，故11ln()0ln123a，解得12a．从而这样的实数a必须为正实数，当2a时，由上面的讨论知()fx在(0,)上递增，()(0)2ln21fxf，此时不合题意，故这样的a必须满足02a，此时：令'()0fx得()fx的增区间为(,)4aa；令'()0fx得()fx的减区间为2(0,)4aa．故min2212()()ln()14422214aafxfaaaaa，整理得2212ln()022aaaaaa，即22221222ln()02222aaaaaa，设2211(,1]22aat，则上式即为1ln10tt，构造1()ln1gttt，则等价于()0gt，由于lnyt为增函数，11yt为减函数，故1()ln1gttt为增函数，观察知(1)0g，故()0gt等价于1t，与之对应的1a，综上符合条件的实数a是存在的，即1a．22.解：（1）由已知sin2xy，cos2xy，结合22sincos1，消去得：普通方程为22()()122xyxy，化简得222xy．（2）由2sin()104知(cossin)10，化为普通方程为10xy，圆心到直线l的距离22|1|2211h，由垂径定理221||22262ABrh．23.解：（1）|41|x|21|x，即221681441xxxx，即212120xx，解得0,1x，故原不等式的解集为0,1．（2）222222()()|21||21||2()2|fafbabab，由柯西不等式：22222222()(11)()()4ababab，从而22