《高等数学》多元函数微分法及其应用

推广第九章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用目录上页下页返回结束第二节一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数偏导数第九章目录上页下页返回结束一、偏导数定义及其计算法引例:研究弦在点x0处的振动速度与加速度,就是),(txu0xOxu中的x固定于x0处,求一阶导数与二阶导数.),(0txu关于t的将振幅目录上页下页返回结束定义1.),(yxfz在点存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为),(00yx的某邻域内;),(00yxxfxx00x则称此极限为函数极限设函数)(0xf)()(00xfxxfx0limxx;),(00yxxz0ddxxxy.),(001yxfxyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yxfx注意:目录上页下页返回结束同样可定义对y的偏导数lim0y),(00yxfy若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,),(,),(2yxfyxfy),(0xf),(0xfy记为yy00y或y偏导数存在,,,,yzyfyz目录上页下页返回结束例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.xxx?),,(zyxfy?),,(zyxfzx偏导数定义为(请自己写出)目录上页下页返回结束二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线yTM0在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线0xyTyxzOxT0y对y轴的0M),(00yx目录上页下页返回结束函数在某点各偏导数都存在,显然例如,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz00注意：但在该点不一定连续.上节例在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!目录上页下页返回结束例1.求223yyxxz解法1xz)2,1(xz解法2)2,1(xz在点(1,2)处的偏导数.)2,1(yz,32yxyzyx23)2,1(yz462xx1xz231yy2yz先求后代先代后求目录上页下页返回结束例2.设，）且1,0(xxxzyzyzxxzyx2ln1证:yzxxzyxln1例3.求的偏导数.解:xr求证z22222zyxx2rxrzzr目录上页下页返回结束偏导数记号是一个例4.已知理想气体的状态方程求证:1pTTVVp证:,VTRp,pTRVpTTVVp说明:(R为常数),Vp2VTRTVpRVpTR1不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,目录上页下页返回结束二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数),(,),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx)(xzy),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx数:目录上页下页返回结束类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶)(yyxznn1偏导数为目录上页下页返回结束22exy例5.求函数2exyz.23xyz解:xz22xz)(223xyzxxyzyzxyz2yxz222yz注意:此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.2exy22exy2exy22exy22exy24exy的二阶偏导数及目录上页下页返回结束0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0,0(),0(lim0),(yxfy例如,),(yxfx)0,0(yxfxfxffyyxxy)0,0()0,(lim)0,0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0,022yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022yx0,222222yxyxyxyx0,022yx目录上页下页返回结束例6.证明函数满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：22xu利用对称性,有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程31rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0目录上页下页返回结束,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)证明目录上页下页返回结束内容小结1.偏导数的概念及有关结论•定义;记号;几何意义•函数在一点偏导数存在函数在此点连续•混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法•求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义•求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)目录上页下页返回结束思考与练习解答提示:P129题5，时当022yx222),(yxyxxyxfx222),(yxyxyyxfy0)0,(dd)0,0(xxfxfx0),0(dd)0,0(yyfyfyP129题5,6222222)()(yxyxx即x＝y＝0时,目录上页下页返回结束P129题6(1),12yxxz22yxyyz,)(12222yxxz,)(2222yxyyxz22222)()(2yxyxyz(2),1yxyxzxxyzyln,)1(2.22yxyyxzxxyxyxzyyln1.12xxyzy222ln目录上页下页返回结束作业P681（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）第三节目录上页下页返回结束备用题设方程确定u是x,y的函数,连续,且求解:目录上页下页返回结束第九章*二、全微分在近似计算中的应用应用第三节一元函数y=f(x)的微分)(xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差本节内容:一、全微分的定义全微分目录上页下页返回结束一、全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成,)(oyBxAz其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数),(yxf在点(x,y)的全微分,记作yBxAfzdd若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D内可微.ΔΔAxBy目录上页下页返回结束)(oyBxAzyBxAfzdd(2)偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微),(lim00yyxxfyx当函数可微时:得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续偏导数存在函数可微即目录上页下页返回结束定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点的偏导数yyzxxzzdxz同样可证,Byz证:因函数在点(x,y)可微,故,0y令)(xoxA必存在,且有得到对x的偏增量xxx因此有xzxx0limA目录上页下页返回结束反例:函数),(yxf易知,0)0,0()0,0(yxff但])0,0()0,0([yfxfzyx因此,函数在点(0,0)不可微.)(o注意:定理1的逆定理不成立.22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数不一定可微!即:0,2222yxyxyx0,022yx目录上页下页返回结束]),([yyxxf定理2(充分条件)yzxz,证：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx]),([yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf)],([yxf),(yyxfyyxfy]),([若函数的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.0lim00yx,0lim00yx目录上页下页返回结束zyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函数yx在点可微.0lim00yx,0lim00yx注意到,故有)(o目录上页下页返回结束xxu推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数),,(zyxfuud习惯上把自变量的增量用微分表示,ud记作故有下述叠加原理uuuuzyxdddd称为偏微分.zzuduzd的全微分为yyuzzu于是uuuzyxd,d,d目录上页下页返回结束例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:xz22e2)1,2(,e)1,2(yzxz例2.计算函数的全微分.解:udyyd)cos(221yz,eyxyyxxezyze目录上页下页返回结束可知当*二、全微分在近似计算中的应用1.近似计算由全微分定义)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf(可用于误差分析或近似计算)(可用于近似计算)目录上页下页返回结束半径由20cm增大解:已知V,100,20hr)1(20π05.010020π22V即受压后圆柱体体积减少了例3.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm,则rhrπ2hr2π1,05.0hr)(π2003cm高度由100cm减少到99cm,体积的近似改变量.求此圆柱体hr目录上页下页返回结束例4.计算的近似值.解:设yxyxf),(,则),(yxfx取,2,1yx则)02.2,04.1(04.102.2f08.102.0004.021),(yxfy,1yxyxxyln02.0,04.0yx目录上页下页返回结束分别表示x,y,z的绝对误差界,2.误差估计利用yyxfxyxfzyx),(),(令z的绝对误差界约为yyxxzyxfyxfδ),(δ),(δz的相对误差界约为yyxxzyxfyxfyxfyxfzδ),(),(δ),(),(则目录上页下页返回结束yyxxzyxfyxfyxfyxfzδ),(),(δ),(),(特别注意类似可以推广到三元及三元