初中数学几何最值问题

初中数学几何最值问题面面观在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量(如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差)的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.近年来，各地中考题常通过几何最值问题考查学生的实践操作能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力.本文针对不同类型的几何最值问题作一总结与分析，希望对大家有所帮助.最值问题的解决方法通常有如下两大类:一、应用几何性质1.三角形的三边关系例1如图1，90MON，矩形ABCD的顶点A、B分别在边,OMON上.当分在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中2,1ABBC，运动过程中，点D到点O的最大距离为()(A)21(B)5(c)1455(D)52分析如图1，取AB的中点E，连结,,OEDEOD.ODOEDEQ,当,,ODE三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，2,1ABBC,112OEAEAB.2222112DEADAE,ZOD的最大值为21.故选A.2.两点间线段最短例2如图2，圆柱底面半径为2cm,高为9cm，点,AB分别是回柱两底面圆周上的点，且,AB在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线长度最短为.分析如图3，将圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线的长度，第一条斜线与底面回周长、圆柱的三分之一高组成直角三角形.由周长公式知底面圆一周长为4cm，圆柱的三分之一高为3cm，根据勾股定理，得一条斜线长为5cm，根据平行四边形的性质，棉线长度最短为15cm.3.垂线段最短例3如图4，点A的坐标为(1,0)，点B在直线yx运动，当线段AB最短时，点B的坐标为()(A)(0,0)(B)11(,)22(C)22(,)22(D)22(,)22分析如图4，过点A作'ABOB，垂足为点'B，过'B作'BCx轴，垂足为C.由垂线段最短可知，当'B与点B重合时，AB最短.∵点B在直线yx上运动，∴'AOBV是等腰直角三角形∴'BCOV为等腰直角三角形∵点A的坐标为(1,0)，111'1222OCCBOA，B的坐标为11(,)22∴当线段AB最短时，点B的坐标为11(,)22故选B.4.利用轴对称例4如图5，正方形ABCD，4AB，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PEPB的最小值为.分析连结DE，交BD于点P，连结BD.∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PEPB的小值4ABQ，E是BC的中点，2CE在RtCDEV中22224225DECDCE二、代数证法1.利用配方法例5如图6是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好?分析设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则有228xyx,于是，822xy①若窗户的最大面积为S，则2122Sxyx②把①代入②，有2821222xSxxg2221822xxxx28(2)2xx24832()244x324.上式中，只有84x时，等号成立.这时，由①有8818(82)4424yxgg，即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大.2.利用一元二次方程根的判别式例6已知：0x，0y且121xy，求2xy的最小值.解令2xyt，2ytx代入121xy，1212xtx，去分母，整理，得220xtxt∵x为实数，280ttV8t或0t∵0x，0y8t.故2xy的最小值为8.