含参导数问题

由参数引起的血案——含参导数问题一、已知两个函数kxxxf168)(2，xxxxg452)(23，按以下条件求k的范围。（1）对于任意的]3,3[x，都有)()(xgxf成立。（构造新函数，恒成立问题）（2）若存在成立。，使得)()(]3,3[000xgxfx（与恒成立问题区别看待）（3）若对于任意的).()(]3,3[2121xgxfxx，都有、（注意21,xx可以不是同一个x）（4）对于任意的)()(],3,3[]3,3[1001xfxgxx使得，总存在。（注意：哪个函数的值域含于哪个函数的值域取决于：谁的x是任意取的，谁的x是总存在的。）（5）若对于任意0x3,3,总存在相应的12,3,3xx,使得102()()()gxfxgx成立；（与（4）相同）二、已知函数21ln(1)2fxaxxax，aR(1)函数f(x)在区间(2,﹢∞)上单调递增，则实数a的取值范围是,(2)函数f(x)在区间(2,3)上单调，则实数a的取值范围是.三、设函数3()3fxxax(aR)，若对于任意的1,1x都有()1fx成立，求实数a的取值范围.四、含参数导数问题的三个基本讨论点一、求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。三、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）,导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。例1、设函数3221()23()3fxxaxaxaaR.求函数)(xf的单调区间和极值；（可因式分解，比较两根大小，注意别丢两根相等情况)解：22()4-3()(3)fxxaxaxaxa……………………………5分0a时，()0fx，(,)是函数的单调减区间；无极值；……………6分0a时，在区间(,),(3,)aa上，()0fx；在区间(,3)aa上，()0fx，因此(,),(3,)aa是函数的单调减区间，(,3)aa是函数的单调增区间，函数的极大值是(3)faa；函数的极小值是34()3faaa；………………8分0a时，在区间(,3),(,)aa上，()0fx；在区间(3,)aa上，()0fx，因此(,3),(,)aa是函数的单调减区间，(3,)aa是函数的单调增区间函数的极大值是34()3faaa，函数的极小值是(3)faa………………10分例1变式．若2'()(1)fxxaxa，若(0,)x,讨论()fx的单调性。（比较根大小，考虑定义域）例2、已知a是实数，函数fxxxa。（不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论）（Ⅰ）求函数fx的单调区间；（主要看第一问，第二问选看）（Ⅱ）设ga为fx在区间0,2上的最小值。（i）写出ga的表达式；（ii）求a的取值范围，使得62ga。解：（Ⅰ）函数的定义域为0,，'3330222axxaxafxxxxxx，由'()0fx得3ax。考虑3a是否落在导函数'()fx的定义域0,内，需对参数a的取值分0a及0a两种情况进行讨论。（1）当0a时，则'()0fx在0,上恒成立，所以fx的单调递增区间为0,。（2）当0a时，由'()0fx，得3ax；由'()0fx，得03ax。因此，当0a时，fx的单调递减区间为0,3a，fx的单调递增区间为,3a。①当0,23a，即06a时，fx在0,3a上单调递减，在,23a上单调递增，所以2333aaagaf932aa。②当2,3a，即6a时，fx在0,2上单调递减，所以222gafa。综上所述，0,02,063322,~6aaagaaaa（ii）令62ga。①若0a，无解；②若06a，由26233aa解得36a；③若6a，由6222a解得6232a。综上所述，a的取值范围为3232a。例3已知函数22211axafxxRx其中aR。当0a时，求函数fx的单调区间与极值。解：由于0a，所以22'2222122122111axaxaxxaxaafxxx。由'0fx，得121,xxaa。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数a的取值分0a和0a两种情况进行讨论。（1）当0a时，则12xx。易得fx在区间1,a，,a内为减函数，在区间1,aa为增函数。故函数fx在11xa处取得极小值21faa；函数fx在2xa处取得极大值1fa。（2）当0a时，则12xx。易得fx在区间),(a，),1(a内为增函数，在区间)1,(aa为减函数。故函数fx在11xa处取得极小值21faa；函数fx在2xa处取得极大值1fa。例4、已知函数1ln)1()(2axxaxf。（I）讨论函数)(xf的单调性；（*第二问选做*）（II）设1a.如果对任意),0(,21xx，||4)()(|2121xxxfxf，求a的取值范围。解：（Ⅰ）()fx的定义域为（0，+∞）.2121'()2aaxafxaxxx.当0a时，'()fx＞0，故()fx在（0，+∞）单调增加；当1a时，'()fx＜0，故()fx在（0，+∞）单调减少；当-1＜a＜0时，令'()fx=0，解得12axa.则当1(0,)2axa时，'()fx＞0；1(,)2axa时，'()fx＜0.故()fx在1(0,)2aa单调增加，在1(,)2aa单调减少.（Ⅱ）不妨假设12xx，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而12,(0,)xx，1212()()4fxfxxx等价于12,(0,)xx，2211()4()4fxxfxx①令()()4gxfxx，则1'()24agxaxx①等价于()gx在（0，+∞）单调减少，即1240aaxx.从而22222241(21)42(21)2212121xxxxaxxx故a的取值范围为（-∞，-2].例5、已知函数f(x)=In(1+x)-x+22xx(k≥0)。(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。解：（I）当2k时，2()ln(1)fxxxx，1'()121fxxx由于(1)ln2f，3'(1)2f，所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为3ln2(1)2yx即322ln230xy（II）(1)'()1xkxkfxx，(1,)x.当0k时，'()1xfxx.所以，在区间(1,0)上，'()0fx；在区间(0,)上，'()0fx.故()fx得单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0,).当01k时，由(1)'()01xkxkfxx，得10x，210kxk所以，在区间(1,0)和1(,)kk上，'()0fx；在区间1(0,)kk上，'()0fx故()fx得单调递增区间是(1,0)和1(,)kk，单调递减区间是1(0,)kk.当1k时，2'()1xfxx故()fx得单调递增区间是(1,).当1k时，(1)'()01xkxkfxx，得11(1,0)kxk，20x.所以没在区间1(1,)kk和(0,)上，'()0fx；在区间1(,0)kk上，'()0fx故()fx得单调递增区间是1(1,)kk和(0,)，单调递减区间是1(,0)kk参数讨论流程：1.一般先去求两根，最好是将导函数因式分解，方便直接看出根。有时甚至要考虑导函数等于零是否有根，如二次函数判别式小于零时就没根。2.两根大小不确定时需要对参数分情况讨论两根大小（别忽略了二次函数两根相等情况）。3.如果原函数有定义域，或者参数有自己的取值范围，必须对这些进行考虑。4．如果二次函数的二项式系数有参数，必须考虑二次函数的开口方向，也要小心系数为零的情况。易错点归类：1.复合函数求导反复检查保证无误。2.没有考虑原函数的定义域。3.没有考虑题干中参数的取值范围。3.把原函数图象和导函数图象弄混。4.写结论的时候，用并集去写单调区间.