极坐标和参数方程

极坐标和参数方程知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即)()(tfytfx并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：sincos00tyytxx（t为参数）其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义，有以下结论．○1．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则AB＝ABtt＝BAABtttt4)(2．○2．线段AB的中点所对应的参数值等于2BAtt．2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：sincos00ryyrxx（为参数）3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：sincosbyax（为参数）（或sincosaybx）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）(.sin,cos00byyaxx4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：tgsecbyax（为参数）（或ecaybxstg）5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：ptyptx222（t为参数，p＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是sincos00tyytxx（t为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋k2)或（，＋)12(k），(kZ)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定0，0≤＜2或0，＜≤等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：xMO图1⑴0⑵cosa⑶cosa⑷sina⑸sina⑹)cos(a4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(a：⑴a⑵cos2a⑶cos2a⑷sin2a⑸sin2a⑹)cos(2a00xOM图1（，）cosaaOM图2cosaaOM图3sinaOM图4asinaOM图5a),(a)cos(aOMpN图6（，）a5、极坐标与直角坐标互化公式：[基础训练A组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23xttyt为参数，则直线的斜率为（）cosxsiny222yx)0(tanxxyyyxOMHN(,)（直极互化图）cos2aaxOM图2sin2aaxOM图4sin2aaxOM图5cos2aaxOM图3aaxOM图1),(a)cos(2aaxOM图6A．23B．23C．32D．322．下列在曲线sin2()cossinxy为参数上的点是（）A．1(,2)2B．31(,)42C．(2,3)D．(1,3)3．将参数方程222sin()sinxy为参数化为普通方程为（）A．2yxB．2yxC．2(23)yxxD．2(01)yxy4．化极坐标方程2cos0为直角坐标方程为（）A．201yy2x或B．1xC．201y2x或xD．1y5．点M的直角坐标是(1,3)，则点M的极坐标为（）A．(2,)3B．(2,)3C．2(2,)3D．(2,2),()3kkZ6．极坐标方程cos2sin2表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆二、填空题1．直线34()45xttyt为参数的斜率为______________________。2．参数方程()2()ttttxeetyee为参数的普通方程为__________________。3．已知直线113:()24xtltyt为参数与直线2:245lxy相交于点B，又点(1,2)A，则AB_______________。4．直线122()112xttyt为参数被圆224xy截得的弦长为______________。5．直线cossin0xy的极坐标方程为____________________。三、解答题1．已知点(,)Pxy是圆222xyy上的动点，（1）求2xy的取值范围；（2）若0xya恒成立，求实数a的取值范围。2．求直线11:()53xtltyt为参数和直线2:230lxy的交点P的坐标，及点P与(1,5)Q的距离。3．在椭圆2211612xy上找一点，使这一点到直线2120xy的距离的最小值。一、选择题1．直线l的参数方程为()xattybt为参数，l上的点1P对应的参数是1t，则点1P与(,)Pab之间的距离是（）A．1tB．12tC．12tD．122t2．参数方程为1()2xttty为参数表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线3．直线112()3332xttyt为参数和圆2216xy交于,AB两点，则AB的中点坐标为（）A．(3,3)B．(3,3)C．(3,3)D．(3,3)4．圆5cos53sin的圆心坐标是（）A．4(5,)3B．(5,)3C．(5,)3D．5(5,)35．与参数方程为()21xttyt为参数等价的普通方程为（）A．214y2xB．21(01)4yx2xC．21(02)4yy2xD．21(01,02)4yxy2x6．直线2()1xttyt为参数被圆22(3)(1)25xy所截得的弦长为（）A．98B．1404C．82D．9343二、填空题1．曲线的参数方程是211()1xttyt为参数,t0，则它的普通方程为__________________。2．直线3()14xattyt为参数过定点_____________。3．点P(x,y)是椭圆222312xy上的一个动点，则2xy的最大值为___________。4．曲线的极坐标方程为1tancos，则曲线的直角坐标方程为________________。5．设()ytxt为参数则圆2240xyy的参数方程为__________________________。三、解答题1．参数方程cos(sincos)()sin(sincos)xy为参数表示什么曲线？2．点P在椭圆221169xy上，求点P到直线3424xy的最大距离和最小距离。3．已知直线l经过点(1,1)P,倾斜角6，（1）写出直线l的参数方程。（2）设l与圆422yx相交与两点,AB，求点P到,AB两点的距离之积。一、选择题1．把方程1xy化为以t参数的参数方程是（）A．1212xtytB．sin1sinxtytC．cos1cosxtytD．tan1tanxtyt2．曲线25()12xttyt为参数与坐标轴的交点是（）A．21(0,)(,0)52、B．11(0,)(,0)52、C．(0,4)(8,0)、D．5(0,)(8,0)9、3．直线12()2xttyt为参数被圆229xy截得的弦长为（）A．125B．1255C．955D．91054．若点(3,)Pm在以点F为焦点的抛物线24()4xttyt为参数上，则PF等于（）A．2B．3C．4D．55．极坐标方程cos20表示的曲线为（）A．极点B．极轴C．一条直线D．两条相交直线6．在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线的方程为（）A．cos2B．sin2C．4sin()3D．4sin()3二、填空题1．已知曲线22()2xpttpypt为参数,为正常数上的两点,MN对应的参数分别为12,tt和，120tt且，那么MN=_______________。2．直线22()32xttyt为参数上与点(2,3)A的距离等于2的点的坐标是_______。3．圆的参数方程为3sin4cos()4sin3cosxy为参数，则此圆的半径为_______________。4．极坐标方程分别为cos与sin的两个圆的圆心距为_____________。5．直线cossinxtyt与圆42cos2sinxy相切，则_______________。三、解答题1．分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos21()sin2ttttxeeyee化为普通方程：（1）为参数，t为常数；（2）t为参数，为常数；2．过点10(,0)2P作倾斜角为的直线与曲线22121xy交于点,MN，求PMPN的值及相应的的值。新课程高中数学训练题组参考答案数学选修4-4坐标系与参数方程[基础训练A组]一、选择题1．D233122ytkxt2．B转化为普通方程：21yx，当34x时，12y3．C转化为普通方程：2yx，但是[2,3],[0,1]xy4．C22(cos1)0,0,cos1xyx或5．C2(2,2),()3kkZ都是极坐标6．C2cos4sincos,cos0,4sin,4sin或即则,2k或224xyy二、填空题1．54455344ytkxt2．221,(2)416xyx22()()422222ttttttyxexeeyyxxyyeexe3．52将1324xtyt代入245xy得12t，则5(,0)2B，而(1,2)A，得52AB4．14直线为10xy，圆心到直线的距离1222d，弦长的一半为222142()22，得弦长为145．2coscossinsin0,cos()0，取2三、解答题1．解：（1）设圆的参数方程为cos1sinxy，22cossin15sin()1xy