行程问题总结

1行程问题教学研究枳沟初中薛金灵很明显这是列方程解应用题中的行程问题，行程问题是初中数学的重要内容，是中考的重要内容之一。是初中数学列方程解应用题的三大重点：行程问题，工程问题，百分率问题中的重点题型。行程问题又具体分为以下几种情形：相遇问题：甲、乙相向而行：甲走的路程+乙走的路程=总路程追击问题：甲、乙同向不同地：追者走的路程=前者走的路程+两地间的距离环形跑道问题：1、甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发，快的必须多跑一圈才追上慢的。2、甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发，两人第一次相遇跑的总路程=环形跑道一圈的长度。飞行问题：基本等量关系：顺风速度=无风速度+风速逆风速度=无风速度-风速顺风速度-逆风速度=风速×2航行问题：基本等量关系：顺水速度=静水速度+水速逆水速度=静水速度-水速顺水速度-逆水速度=水速×2典型例题：李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分不钟200米自行车路段和跑步路段共5千米，共用15分钟，求自行车路段和跑步路段的长度。本题是一般的行程问题的列方程解应用题，直接应用关系式：路程=速度×时间，列方程或方程组解答。首先设未知数，一般两种设法，直接设或间接设，先考虑直接设，如设自行车路段为ｘ米，跑步路段为ｙ米。然后我画线段图表示路程，等量关系很明显即：路程相等一个方程，时间相等一个方程为：ｘ＋ｙ＝５０００｛ｘ÷６００＋ｙ÷２００＝１５当然本题也可用一元一次方程解，如设自行车路段为ｘ米，则跑步路段为（５０００－ｘ）米。可列方程得：ｘ÷６００＋（５０００－ｘ）÷２００＝１５说明：本例还得注意单位统一总之，列方程解应用题是初中数学教学的重点难点，在实际教学时，让学生首先弄清问题是具体的哪种类型，画图分析题意，选择所需的等量关系列方程。列方程解应用题的关键是把未知数与已知数同等看待。很多学生不会列方程的主要原因就把未知数与已知数分别看待，未知数设上不用。另外列程解应用题是两个过程，先根据题意列方程，在求解未知数值。2水流1：甲、乙两港间的水路长286千米，一只船从甲港开往乙港顺水11小时到达；从乙港返回甲港，逆水13小时到达。求船在静水中的速度（即船速）和水流速度（即水速）。分析：要求船速和水速，要先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度可按行程问题的一般数量关系求，即：路程÷顺水时间=顺水速度，路程÷逆水时间=逆水速度。因此，顺水速度是286÷11=26千米，逆水速度是286÷13=22千米。所以，船在静水中每小时行（26＋22）÷2=24千米，水流速度是每小时（26－22）÷2=2千米。2：一只轮船从上海港开往武汉港，顺流而下每小时行25千米，返回时逆流而上用了75小时。已知这段航道的水流是每小时5千米，求上海港与武汉港相距多少千米？分析与解答：先根据顺水速度和水速，可求船速为每小时25－5=20千米；再根据船速和水速，可求出逆水速度为每小时行20－5=15千米。又已知“逆流而上用了75小时”，所以，上海港与武汉港相距15×75=1125千米。3.某轮船在相距216千米的两个港口间往返运送货物，已知轮船在静水中每小时行21千米，两个港口间的水流速度是每小时3千米，那么，这只轮船往返一次需要多少时间？4.A、B两个码头之间的水路长80千米，甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10小时。如果乙船顺流而行需要5小时，那么乙船在静水中的速度是多少？分析与解答：虽然甲、乙两船的船速不同，但都在同一条水路上行驶，所3以水速相同。根据题意，甲船顺水每小时行80÷4=20千米，逆水每小时行80÷10=8千米，因此，水速为每小时（20－8）÷2=6千米。又由“乙船顺流而行80千米需要5小时”，可求乙船在顺水中每小时行80÷5=16千米。所以，乙船在静水中每小时行16－6=10千米。【应用举例】例1甲、乙两人在10千米的环形公路上跑步，甲每分钟跑230米，乙每分钟跑170米．⑴若甲先跑10分，乙再从同地同向出发，还要多长时间相遇？⑵若甲先跑10分，乙再从同地反向出发，还要多长时间相遇？解：1.(1)设需要的时间为x秒(230-170)x=1000060x=10000x=166.6分钟(2)设需要的时间为x秒230×10+(230-170)x=1000060x=7700x=128.3分钟答：⑴若甲先跑10分，乙再从同地同向出发，还要166.6分钟相遇？⑵若甲先跑10分，乙再从同地反向出发，还要128.3分钟相遇？例2一列火车行驶途中，经过一条长300m的隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏固定的灯，垂直向下发光，灯光在火车上照了10s．求这列火车的长为多少？解：经过一条长300m的隧道要20s：这里的20s是指隧道的长度加上火车的长度，即火车从进隧道，到完全的出隧道的长度。而隧道上的灯所照的时间10s：就是火车的长度。根据速度相等，设火车长x米，则300+2010xx变换为300+x=2x，即x=300所以火车长300米。例3在高速公路上，一辆长4米，速度为110千米／小时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米／小时的卡车，则轿车从开始追及到超越卡车，需要花费的时间是多少？解：设需要的时间为x秒，110千米/小时=2759米/秒，100千米/小时=2509米/秒则：2759x-2509x=12+4解得：x=5.76答：需要的时间为5.76秒【课堂操练】42.甲、乙两人分别在相距50km的地方同向出发，乙在甲的前面，甲每小时走16km，乙每小时走18km，如果乙先走1小时，问甲走多少时间后，两个人相距70km？解：设甲走的小时数为x（x+1）×18-16x=70-502x=20-18x=1甲走1小时后两人相距70km3.一辆大汽车原来的速度是30千米/时，现在开始均匀加速，每小时提速20千米；一辆小汽车原来行驶的速度是90千米/时，现在开始均匀减速，每小时减速10千米。经过多长时间两辆车的速度相等？这时车的速度是多少？解：设经过x小时车速相等。30+20x=90-10x解为x=2再用30+20×2=70最后答：经过2小时两辆车的速度相等，这时车速是每小时70千米4.兄弟两人由家里去学校，弟每小时走6里，哥每小时走8里，哥晚出发10分钟，结果两人同时到校，学校离家有多远？解：设学校离家有x里106608xx,x=4答:学校离家有4里5.甲、乙两站之间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶85千米．快车先开30分，两车相向而行，慢车行驶了多少小时后两车相遇？解：设x小时后相遇65x+85x=450-85*0.5x=2.717答:2.717小时后相遇6.甲、乙两人分别从Ａ、Ｂ两地同时出发相向而行，已知甲的速度比乙快3千米／时，两人从上午8时出发，上午10时还相距15千米，到中午12时两人又相距15千米，求Ａ、Ｂ两地间的距离。解：设AB两地的距离为x千米上午10时还相距15千米，此时甲乙两人共行了x-15千米，用时2小时中午12时两人又相距15千米，此时甲乙两人共行了x+15千米，用时4小时两人的速度之和相等，有（x-15）/2=（x+15）/42（x-15）=x+152x-30=x+15x=45答：A、Ｂ两地间的距离是45km5【课后盘点】1.采石厂工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在炸药爆破前转移到400米以外的安全区域，导火索燃烧速度是1厘米／秒，人离开的速度是5米／秒，则导火索的长度至少是多少厘米．解：假设工人正好在爆破中心400m时，导火索燃尽，爆破开始。工人转移用时为t1=400/5=80s导火索燃烧时间为t2=t1=80s导火索长度为80s*1cm/s=80cm2.一列长a米的队伍以每分钟60米的速度向前行进，队尾一名同学用1分钟从队尾走到队头，这位同学走的路程是．解：(60+a)m5.一条山路，某人从山下往山顶走3小时还有1千米才到山顶，若从山顶走到山下只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1.5倍，求山下到山顶的路程．答案：解：解：设上山速度有x千米/小时1.5x×50＝60x＋1,x＝1/151.5×1/15＝0.1千米0.1×50＝5千米答:上山速度有1/15千米/小时.下山速度有0.1千米/小时，山下到山顶的路程有5千米。6.一列火车在铁道上匀速行驶，经测量，这列火车在迎面而来的人身旁驶过用了15秒时间，而从背向而去的人身旁驶过用了17秒时间，已知行人步行的速度都是3.6千米／小时，请问这列火车有多长？解：设火车速度x米每秒3.6千米/小时=1米/秒15（1+x）=17(x-1)x=16火车长17（16-1）=255米答：这列火车长255米7.某人从家骑自行车到火车站，如果每小时行15千米，那么他可以比火车开车时间提前15分钟到达；如果每小时走9千米，则要比开车时间晚15分钟到达．(1)若准时到达火车站，需要多长时间？(2)现打算比开车早10分钟到达，每小时应走多少千米？解：设还有x分钟火车开车15千米/小时=14千米/分钟9千米/小时=320千米/分钟14（x-15）=320（x+15）解得x=60即：还有60分钟火车开车时间：60-10=50（分钟）路程：14（60-15）=445千米换算成小时：0.225×60=13.5千米/小时68.A、B两地相距60km，甲乙两人分别从A、B两地骑车出发，相向而行，甲比乙迟出发20min,每小时比乙多行3km,在甲出发后1h40min,两人相遇，问甲乙两人每小时各行多少km?解：解法1：设甲的速度为xkm/h，乙的速度就是(x-3)km/h所以35x+（x-3）×2=60解得x=18所以甲的速度为18km/h乙的为15km/h解法2：设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为（x+3）km/h甲比乙迟出发20分，乙行了2个小时（1+40/60）（x+3）+2x=60解得x=15甲的速度为15+3=18千米/小时答：甲的速度为18千米每小时，乙的速度为15千米每小时9.一列匀速前进的火车，从它进入320m的隧道到完全通过隧道经历18s，隧道顶部一盏固定的灯光在火车上照了10s，则这列火车的长为多少？解：设火车的速度是xm/s．根据题意得：320+10x=18y解得：x=40m，得到：火车的长是400m．答：这列火车长400米。10.A、Ｂ两地相距1890千米，甲、乙两列火车分别从Ａ、Ｂ两地同时出发相向而行，甲每小时行120千米，乙每小时行150千米，经过多长时间两车间的距离是135千米？解：解：在行程问题中，路程=速度×时间，设经过x小时后，两车相距135千米，那么甲行驶了120x千米，乙行驶了150x千米．当两车相遇前相距135千米时，可得方程：120x+135+150x=1890当两车在相遇后相距135千米时，可得方程：120x+150x=1890+135解这两个方程，得x=6.5或x=7.5答：经过6.5小时或7.5小时，两列火车相距135千米．11.甲、乙两地相距23千米，Ａ从甲地到乙地，在乙地停留20分钟后，又从乙地回到甲地；Ｂ从乙地到甲地，在甲地停留30分钟后，又从甲地回到乙．若Ａ、Ｂ同时从甲、乙两地出发，经过5小时，在他们各自返回的路上相遇，如果Ａ的速度比Ｂ的速度快3千米／时，求两人的速度．解：设B的速度为a千米/小时，则A的速度为(a+3)千米/小时20分钟=13小时，30分钟=12小时（5-12）a+（a+3）×（5-13）=23×3792a+143a+14=69556a=55a=6千米/小时答：A的速度为6+3=9千米/小时B的速度为6千米/小时【课外拓展】有8位退休教师分别乘坐小汽车从山区赶往飞机场,可真不巧,其中一辆小汽车在距离飞机场15千米的地方出了故障,不能行驶,此时离飞机停止检票时间只剩下42分钟(停止检票后即不让乘客上飞机).这时,惟一可以利用的交通工具只剩下一辆小汽车,连同司机在内一次限乘5人,这辆小汽车的平均速度为60千米/时.(1)这辆小汽车要分两批送这8人,如果第二批人在原地等待,那么这8人都能及时到达机场吗?请说明理由.