基本积分公式直接积分法

3.2不定积分基本公式与直接积分法课前复习一、原函数的概念二、不定积分的定义三、不定积分的几何意义函数)(xf的不定积分——)(xf的全体原函数，即()()fxdxFxc一簇积分曲线，这簇曲线中每条曲线在同一点0x处的切线平行)()('xfxF)(xF是)(xf的一个原函数xyO0x四、不定积分的性质性质1非零常数因子可以提前性质2和差的积分=积分的和差()d()d(0)kfxxkfxxk()()d()d()dfxgxxfxxgxx性质3不定积分与导数（或微分）互为逆运算()d()d()d()dfxxfxfxxfxx或()d()d()()FxxFxCFxFxC或5．求经过点（1，1），且切线斜率为2x的曲线方程．2(),,yfxyx解：设曲线方程为依题意231,3yxdxxC所以12(1,1),1,,33CC又因为曲线过点有所以31233yx故所求曲线方程为作业解析：P1205题6．证明函数(ln1)xx是函数lnx的一个原函数．[(ln1)](ln1)(ln1)xxxxxx证明：因为所以(ln1)xx是lnx的一个原函数．1(ln1)xxx(ln1)1lnxx作业解析：P1206题3.2.1基本积分公式0C0dxC基本求导公式基本积分公式1)(xx11d1(1)xxxC特别地：()1xdxxC211xx211dxCxxaaaxxln)(1dlnxxaxaCa特别地：(e)exxedexxxCxx1)(ln1dlnxxCxxx21)(1d2xxCxxxcos)(sincosdsinxxxCxxsin)(cossindcosxxxCxxx22seccos1)(tan2secdtanxxxCxxx22cscsin1)(cot2cscdcotxxxC(sec)sectanxxxsectandsecxxxxC(csc)csccotxxxcsccotdcscxxxxC211)(arcsinxx21darcsin1xxCxarccosxC211)(arccosxx211)(arctanxx21darctan1xxCx21(arccot)1xxarccotxC3.2.2直接积分法由已知函数求出全部原函数的方法称为积分法．把被积函数（经恒等变形后）直接运用不定积分的性质和基本积分公式求出不定积分的方法称为直接积分法．21132e2d2xxxxx例、求不定积分2132e2d2xxxxx解：23dxx()xxxabab3133x311ln2e22ln2exxxxxC1ln2x1(2e)ln2ex2xC11d2xx(2e)dxx2dx例2求下列不定积分：1dxxx()(1)dxxx解：32dxx231(2)dxx23dxx5225xC133xC231(2)dxx1,mmannaxxxxababxxx当被积函数中含有nmx、1(1)x等式子时，先将其化成幂的形式，再代幂函数的积分公式—“化x型”（例外：1dxx，21dxx可以直接使用）1,mnmanaxxxx23(1dxx例、求）2(1dxx解：）(12)dxxx12d2ddxxxxxx3224132xxxC此方法可简述为“先展（开）后积（分）”．32223x212xC2e14de1ttt例、求2e1de1ttt解：(e1)(e1)de1tttt(e1)dtteddtttettC此方法简述为“先约（分）后积（分）”25sind2xx例、求2sind2xx解：1cosd2xx1(1cos)d2xx1(dcosd)2xxx1(sin)2xxC2cos212sinxx当被积函数是三角函数时，常利用三角函数公式进行恒等变形，使其可用基本积分公式计算——三角恒等变形426d1xxx例、求42d1xxx解：42(1)1d1xxx222(1)(1)1d1xxxx2(1)dxx21d1xx31arctan3xxxC“拆项”（1）当被积函数为假分式时，先进行恒等变形：假分式=整式+真分式2217d(1)xxx例、求221d(1)xxx解：2211()d1xxx1arctanxCx“拆项”（2）（把分母分解因式后）按分母的因式拆项课堂练习P123习题3.21，2（1）（3）（5）（7）（9）（11）3，41．选择题：（1）下列式子正确的是（）．A．Cdxxx22B．2(2)()xxxxedxdxedxC．()()xfxdxxfxdxD．3()3()fxdxfxdx（2）下列运算正确的是（）．A．312232xxdxxdxxCB．132232xdxxdxxCC．1122d2xxdxxCxD．374447xxdxxdxxCDD22(1)(2)xxedx2.解：321123ln2xxexC(3)(1)xxdx3122xdxxdx222xxdxdxedxxxdxxdx53222253xxC224()2(5)22xxdxdxxx(2)(2)(2)2xxdxxdxx1222xdxdxxdxdx32223xxCsin22sincos(7)coscosxxxdxdxxx2sin2sin2cosxdxxdxxC2221(9)xxxeedxdxedxee221xxeCeCe22(11)1xdxx21arctan1dxdxxxCx22111xdxx3．已知2dyxdx，且25xy，求函数y．(2)2yxdxxdxdx解：依题意2122xxC25,524,1.xyCC又因为代入得所以21212yxx故4．已知某曲线在任一点的切线斜率等于该点横坐标的倒数，且曲线经过点2(,3)e，求该曲线方程．1(),yfxyx解：设该曲线方程为依题意，1ln,ydxxCx那么32,1,CC有所以ln1.yx故所求曲线方程为2(,3),e又因为曲线过点课后小结一、基本积分公式（熟记）二、直接积分法求不定积分的具体方法和技巧（1）化x型（2）先展后积（3）先约后积（4）三角恒等变形（5）拆项：①假分式=整式+真分式②按分母的因式拆项作业：P124习题3.22（2）（4）（6）（8）（10）（12）5题预习：3.3.1第一类换元积分法