高二立体几何与空间向量练习题

-1-高二、空间向量与立体几何解答题练习题1．（本题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，121QAABPD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（Ⅱ）求二面角Q—BP—C的余弦值．．解：（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQDCPQ所以0,0.PQDQPQDC即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.（II）依题意有B（1，0，1），(1,0,0),(1,2,1).CBBP设(,,)nxyz是平面PBC的法向量，则0,0,20.0,nCBxxyznBP即因此可取(0,1,2).n设m是平面PBQ的法向量，则0,0.mBPmPQ可取15(1,1,1).cos,.5mmn所以故二面角Q—BP—C的余弦值为15.52．（本题12分）长方体1111ABCDABCD中，12AA，2ABBC，O是底面对角线的交点.(Ⅰ)求证：11//BD平面1BCD；(Ⅱ)求证：1AO平面1BCD；(Ⅲ)求三棱锥11ADBC的体积.（本题12分）解:(Ⅰ)证明：依题意：11//BDBD，且11BD在平面1BCD外．……2分-2-∴11//BD平面1BCD…………………………………………………3分(Ⅱ)证明：连结1OC∵BDAC1AABD∴BD平面11ACCA…………4分又∵O在AC上，∴1AO在平面11ACCA上∴1AOBD…………………………5分∵2ABBC∴1122ACAC∴2OA∴1RtAAO中，22112AOAAOA…………………………………6分同理：12OC∵11AOC中，2221111AOOCAC[来源:学+科+网Z+X+X+K]∴11AOOC…………………………………………………………7分∴1AO平面1BCD………………………………………………………8分(Ⅲ)解：∵1AO平面1BCD∴所求体积111132VAOBDOC……………………………………10分11422222323………………………………12分3.(本题12分)如图,在长方体1111ABCDABCD中,11,2,ADAAAB点E在棱AB上.(1)求异面直线1DE与1AD所成的角；(2)若二面角1DECD的大小为45,求点B到面1DEC的距离.解法一:(1)连结1AD.由11AADD是正方形知11ADAD.∵AB平面11AADD,∴1AD是1DE在平面11AADD内的射影.根据三垂线定理得11ADDE,-3-则异面直线1DE与1AD所成的角为90.…………5分(2)作DFCE,垂足为F,连结1DF,则1CEDF.所以1DFD为二面角1DECD的平面角,145DFD.于是111,2DFDDDF,易得RtRtBCECDF,所以2CECD,又1BC,所以3BE.设点B到平面1DEC的距离为h,则由于1,BCEDDBCEVV即1111113232CEDFhBEBCDD,因此有11CEDFhBEBCDD,即223h,∴64h.…………12分解法二:如图,分别以1,,DDDCDA为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.(1)由1(1,0,1)A,得1(1,0,1)DA,设(1,,0)Ea,又1(0,0,1)D,则1(1,,1)DEa.∵111010DADE∴11DADE,则异面直线1DE与1AD所成的角为90.……………………5分(2)(0,0,1)m为面DEC的法向量,设(,,)xyzn为面1CED的法向量,则(,,)xyzn222||||2|cos,|cos45||||2zxyzmnmnmn,∴222zxy.①由(0,2,0)C,得1(0,2,1)DC,则1DCn,即10DCn,∴20yz②由①、②,可取(3,1,2)n,又(1,0,0)CB,所以点B到平面1DEC的距离||36422CBdn|n|.……………12分-4-D1C1B1A1DCBAzyxD1C1B1A1DCBA4．（本小题满分12分）用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台。如图，在四棱台1111ABCDABCD中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底1111ABCD是边长为1的正方形，侧棱1DD⊥平面ABCD，12DD.（Ⅰ）求证：//1BB平面ACD1；（II）求平面11BAD与平面1CAD夹角的余弦值.以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D—xyz如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）.…3分（Ⅰ）证明：设，、连结EDEBDAC1,则有),2,1,1(),0,1,1(11BBEDE所以EDBB11//，ACDEDACDBB111平面，平面，∴//1BB平面ACD1；………6分（II）解：),2,0,2(),0,1,1(111ADBD设),,(zyxn为平面11DAB的法向量，.022,0111zxADnyxDBn于是.1,1,1zyx则令)1,1,1(n………8分同理可以求得平面ACD1的一个法向量)1,1,1(m，………10分.31||||,cosnmnmnm∴二面角CADB11的余弦值为31.………12分5.（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABCABC中，AB=1，13ACAA，∠ABC=600.(Ⅰ)证明：1ABAC；（Ⅱ）求二面角A—1AC—B的余弦值。CBAC1B1A1-5-18．如图，在6.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，E是AB的中点，PC与平面ABCD所成角为30．（1）求二面角P-CE-D的大小；（2）当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2．（1）设AD的中点为O，BC的中点为F，以O为原点，AD为x轴正半轴，AP为z轴正半轴，OF为y轴正半轴建立空间直角坐标系，连接OC，则PCO为PC与面AC所成的角，PCO=30，设AD=2a,则3,3,POaOCa故22CDa，则(0,0,3),(,22,0),(,22,0)PaCaaEaa，(,22,3)PCaaa，(,2,3)PEaaa，设平面PCE的一个法向量为(,,1)nxy。则00nPCnPE得36(,,1)33n，又平面DCE的一个法向量(0,0,3OPa），2cos,2OPn,故二面角P-CE-D为4………（8分）-6-（2）D(a,0,0),则(0,22,0)CDa,则点D到平面PCE的距离263CDndand=2,则62a，AD=6………（12分）7.（本题满分12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且SD=AD，E是SA的中点.（1）求证：直线BA⊥平面SAD；（2）求直线SA与平面BED的夹角的正弦值.解：（1）∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AB，又AD⊥AB，∴AB⊥平面SAD，……6分（2）以D为原点，分别以DA、DC、DS为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，设AB=2，则(2,0,0),(0,0,2)AS，(2,2,0),(1,0,1)BE，故(2,0,2)SA，(2,2,0)DB，DE(1,0,1)……………8分设平面BED的一个法向量为(,,)mxyz，由0,0,mDEmDB得00xzxy，取(1,1,1)m，……………………………10分设直线SA与平面BED所成角为，因为6cos,3mSAmSAmSA，所以6sin3，即直线SA与平面BED所成角的正弦值为63……12分8．（本题满分12分）已知四棱锥ABCDP的底面ABCD是边长为2的正方形,PD底面ABCD,E、F分别为棱BC、AD的中点．（Ⅰ）求证://DE平面;PFB18.PFEDCBA-7-（II）以D为原点,直线DPDCDA,,分别为zyx,,轴建立空间直角坐标系．设,aPD可得如下点的坐标:).0,2,2(),0,0,1(),,0,0(BFaP则有(1,0,),(1,2,0).PFaFB因为PD底面,ABCD所以平面ABCD的一个法向量为8).1,0,0(m分设平面PFB的一个法向量为),,,(zyxn则可得00nFBnPF即020yxazx令,1x得,21,1yaz所以11(1,,).92na由已知,二面角CBFP的余弦值为,66所以得,661451,cos2aanm211a分1824.1233PABCDV分9．（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PA平面ABCD,ACAB,ABPA,点E是PD的中点．（1）求证：PBAC；（2）求二面角EACB的大小．18．（本小题满分12分）解：（1）证明：PA平面ABCD，PAAC-8-ACAB,ACPAB平面,PBAC（2）取AD的中点F,连结EF，则EF∥PA,PA平面ABCD,EF平面ABCD.取AC的中点O,连结OF,则OF∥AB，ABACOFAC,连结OE,则,OEACEOF是二面角DACE的平面角，又11,,,45.22EFPAOFABEFOFEFOFEOF且二面角BACE大小为13510.（本小题满分12分）如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱1111ABCDABCD，经平面AEFG所截后得到的图形。其中45EABGAD，22ABAD，60BAD.（Ⅰ）证明：BD平面ADG；（Ⅱ）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.17.解（Ⅰ）证明：在BAD中，22ABAD，60BAD由余弦定理得，3BD∵222ABADBD∴ADBD---------------------------------------------------------------------------3分又GD平面ABCD，∴GDBD∵GDADD，∴BD平面ADG----------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）解：以D为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，DG为z轴建立空间直角坐标系Dxyz则有(1,0,0)A，(0,0,1)G，(0,3,2)E，于是，(1,3,2)AE，(1,0,1)AG--------------8分设平面AEFG法向量为(,,)nxyz则0320nAGxznAExyz，得3(1,,1)3n又平面ABCD的一个法向量(0,0,1)DG，-9-设面ABFG与平面ABCD所成锐二面角为，则||21cos7||||nDGnDG11．（本小题满分12分）如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PAABCD底面，E．F分别是PC．PD的中点，1PAAB，2BC．（I）求证：EF∥平面PAB；（II）求证：平面PAD平面PDC；（III）求二面角BPDA的余弦值．18．（本小题满分12分）解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则1,0,0,0,2,0