微观至介观尺度的模拟方法概述

微观至介观尺度的模拟微观至介观尺度的模拟主要研究内容：微结构演化（动力学控制）微结构与其性质之间关系结构演化的方向——热力学控制微结构变化路径——动力学控制结构演化的这种非平衡特性导致了各种各样的晶格缺陷结构及其相互作用机制。尺度/m特性、现象或缺陷10-10～10-7点缺陷，原子团簇，短程有序，在玻璃态和界面中的结构单元，位错芯，裂纹尖端，原子核10-9～10-5失稳分解，涂层，薄膜，表面腐蚀10-9～10-4二嵌段共聚物，三嵌段共聚物，星形共聚物，大质量的非热变化，界面网格，位错源，堆积效应10-9～10-3粒子、沉积物，枝晶，共晶，共析10-8～10-5微裂纹，裂纹，粉末，磁畴，内应力10-8～10-4堆垛层错，微带，微孪晶，位错通道10-8～10-3聚合物中的球晶，存在于金属、陶瓷、玻璃及聚合物中的结构畴或晶粒团簇（对于多晶或非晶的情况）10-8～10-2聚合物中的构象缺陷团簇10-8～10-1位错，位错壁，旋错，磁壁，亚晶粒，大角晶界，界面10-7～10-1晶粒，剪切带，复合材料的第二相10-7～100扩散，对流，热传递，电流传输10-7～100微结构逾渗路径(断裂，再结晶，界面润湿，扩散，腐蚀，电流，布洛赫壁)10-6～101表面，样品断面收缩，断面微结构的实物空间和时间尺度微观至介观尺度的模拟非平衡因素→材料性质的多样性应用性质材料微结构机制微观至介观尺度的模拟介观尺度模拟的特点：处理的原子数目巨大(≈1023个/cm3)。排除了（1）严格求解薛定谔方程（2）由唯象原子论方法(如与经验势相联系的分子动力学)来完成。必须建立能覆盖较宽尺度范围的恰当的介观尺度模拟方法，以便给出远远超过原子尺度的预测。微观至介观尺度的模拟连续体模型原子运动方程的严格解或近似解（薛定谔方程或分子动力学）——替换为——平均本征结构关系式介观尺度机理和本构定律的复杂性和多样性，导致建立介观尺度模型的方法的不唯一性。空间及时间离散化介观尺度模拟方法空间及时间离散化位错动力学(晶体塑性，复原，织构，断裂)相场动力学或广义Ginzburg-Landau模型(超导电性，扩散，相变，晶粒生长)确定性或概率性元胞自动机(扩散，热传递，相变，再结晶，晶粒生长)多态动力学波茨(Potts)模型(相变，再结晶，晶粒生长)几何拓扑和组分模型(相变，再结晶，晶粒生长)拓扑网格和顶点模型(晶界动力学，网格动力学，成核，复原，晶粒生长)典型应用领域中的主要介观尺度模拟方法微观至介观尺度的模拟介观模拟方法的共同特点：不明显地包含原子尺度动力学，而是理想化地把材料作为连续体。由均匀性基体将晶格缺陷之间的相互作用耦合在一起。控制方程中通常不显含内秉空间或时间标度。含有单个晶格缺陷的连续体介观尺度模型通常由一系列唯象的偏微分速率和本征结构方程组表述。采用有限差分法、有限元法或蒙特卡罗方法可以对这些微分方程近行求解。微观至介观尺度的模拟时空标度参数和离散度的确定由微分方程及其系数、变量所拥有的特点和性质决定。作为态变量(例如原子浓度，位锗密度，结构参数，位移或品格取向)，通常被并进空间格栅坐标；控制微分方程被用于局域或整体情况，这取决于相互作用的性质(短程或长程)。能够利用连续体近似方法对介观尺度的结构演化进行预测、意义重大，因为唯象态方程和结构演化定律已在介观尺度进行很好地研究，其实验数据的获得比在微观尺度更容易，而且数据信息比在宏观尺度更详细。第6章元胞自动机6.1基本原理元胞自动机是描述和处理复杂系统在离散空间-时间上演化规律的算法，通常采用对晶格格座的局域或整体的确定性和概率性变换规则进行具体操作。空间变量可以代表实空间、动量空间或波矢空间。其晶格定义为具有固定数目的点，一般是规则晶格，但其维数及大小可以是任意的。它表述了系统由基础实体形成的构象。这些“基础实体”可以是任意大小的连续体型体积单元、原子颗粒、晶格缺陷或生物界中的动物等等。元胞自动机的原理应用于城市规划6.1基本原理基本实体，由广义态变量(诸如无量纲数、粒子密度、晶格缺陷密度、粒子速度、颜色、血压或动物种类等)进行量化表述。在每一个独立的格座，这些态变量的实际取值都是确定的。并且认为，每一个结点代表有限个可能的离散状态中的一个态。通过将某些变换规则应用于每个结点状态，就会发生自动机的演化。这些规则决定着晶格格座的状态；对于局域规则，格座状态是其前一状态及近邻格点(座)状态的函数，而在整体变换规则下，则为所有格座状态的函数。传统元胞自动机大多采用局域变换规则。6.1基本原理对于在规则晶格结构方面的应用是比较容易。对于非均匀介质，在讨论的晶格区域采用较小的晶格间距比较妥当；而且，还必须考虑对变换速率进行合理修正和重正化。元胞自动机以离散时间步发展演化。经过一个时间间隔，要对所有结点的态变量值同时更新。广义微结构元胞自动机可以采用元胞或格座的离散空间格栅，在空间上通常被认为是均匀的，所有格座都是等价的，并被排布在规则晶格上，其中的变换规则在各处都是一样的。假定它们是有限个可能状态中的一个，并对所有元胞状态同步更新。此外，它们与常规自动机不同的是，格座变换既可以按照确定性定律，也可以按照概率性定律。6.1基本原理元胞自动机方法为模拟动力学系统的演化提供了一种直接的手段，这些动力学系统包含有大量基于短程相互作用或长程相互作用的相似组元。对于简单的物理系统，时间是其惟一个独立变量(自变量)。这种直接方法，就相当于利用有限差分近似法给出偏微分方程组的离散解。元胞自动机方法对“基础实体”类型和选用的变换规则没有任何限制。它们可以描述：简单有限差分模拟中态变量值的分布，混合算法的色问题，“教室里的儿童健康情况”，在任何变换条件下的模糊集合元素，以及元胞的初级生长与衰减过程等。6.1基本原理例如，用于计算高次多项式系数或裴波那契数的帕斯卡三角形，可以作为一维元胞自动机。其中规则三角晶格各个格座对应的值，可通过在其上方的两个数之和给出。在这种情况下、自动机的“基础实体”是一些无量纲的整数，其变换定律是求和法则。一维元胞自动机模型帕斯卡三角形示意图6.1基本原理另一种自动机是由立方晶格组成的，这时每个点具有一种颜色，并能按照下述简单的变换规则进行转换：“如果某点有超过50％的近邻格点(座)是蓝色，则该点就由原色变成红色”；或者“当有超过75％的近邻格点是红色时，那么所考察格点的颜色也转换为红色”。若要描述学校里孩子们之间的相互传染问题，我们可以通过一个规则，亦即“如果一个教室里有50％的孩子得病．则该教室里其他所有孩子就被感染”，定义一个元胞自动机。为了使上述简单唯象模型变得更加合理、真实、可信，应该增加更多的变换规则。上面的例子可补充这样的规则：“经过一定数目的时间步之后，受感染的孩子已康复”或“每个孩子只能被感染一次’’等等。6.1基本原理元胞自动机并不简单地等同于普通模拟方法，例如各种有限差分法、有限元法、伊辛(Ising)法、波茨(Potts)方法等。元胞自动机具有广泛的适用性和多功能的特点，是离散计算方法的普遍化推广。这种灵活适用性是基于这样一个事实：除了采用简明的数学表达式作为变量和变换规则之外，如果需要的话，自动机能够包括任何元素或规则。6.1基本原理在材料科学中，有时对常规有限差分计算方法补充一些“如果…就…”规则可以为处理“数学上的奇点(即非光滑函数表述中的临界或自发效应)问题提供了一种简单有效的途径。事实上，这些规则经常出现在微结构模拟中。例如，在离散位错动力学模拟中，“如果两个反平行螺位错相互靠近到其间距小于5个伯格斯矢量时，它们就会自发湮没”；在断裂力学或弹簧模型中，会经常包含这样的规则：“如果裂纹速度达到某一个值，试验样品将自发损坏”；在重结晶模拟中，会经常遇到这样的规则：“如果晶体局城取向误差达到某一个值，格座将满足成核的动力学非稳定性临界条件。”或“局域储存的弹性能达到某个临界值，格座将满足成核的热力学非稳定性条件”。6.1基本原理如果对主微分方程补充上述所说的“如果…就…”的变换规则，我们就可以对复杂系统的动力学行为特性进行模拟。通常而言，所考察粒子之间的局域相互作用是这一问题的根本基础。尽管元胞自动机模拟一般是在基本尺度层次(例如原子、原子团簇、位错段、亚晶粒)上完成的，但是作为对连续体空间进行离散化和映射处理的派生方法，本身不存在物理特征线度或时间刻度的内秉标定问题。对连续体系统的元胞自动机模拟，需要定义相应的基本单元和对应的变换规则，以便恰当地展现系统在给定层次上的行为特性。6.1基本原理从物理角度看，分子动力学表示的是真正的微观模型，而在使用元胞自动机方法时，并不局限任何特定体系，可适用于任何系统。与蒙特卡罗方法相比，由元胞自动机方法得到的平衡系综的热力学量，在物理上更缺少依据和基础。由于这个原因，在进行元胞自动机计算机实验之前，一个重要工作就是，检验基本模拟单元是否切实体现了“基础物理实体”的特性。由于元胞自动机的应用并不局限于微观体系，所以它为在微结构模拟中实现不同空间及时间尺度的方法之间的跨越，提供了一个非常方便的数值工具。6.2CA在材料中的多面性由于在考虑大量可能的空间态变量及变换规则时所展现的广泛适用性和灵活性。元胞自动机方法在对由再结晶、晶粒生长及相变现象等形成的微结构进行模拟时，表现出特有的多面性。例如，对于再结晶和晶粒生长，元胞自动机可以离散化方式同时描述局域结晶结构及其形成过程。为了实现对这些特性的描述，一般是将局域晶体取向g、储存的弹性能(即某种近似可测量，诸如位错密度ρ或局域泰勒因子M)以及温度T作为态变量。这些变量都是因变量，也就是它们依赖于自变量，诸如空间坐标(x1，x2，x3)和时间t等。6.2CA在材料中的多面性就特定的研究对象，状态参量应包含在所使用的各种局域结构演化定律之中。根据局域的信息、数据及变换规律，可以对诸如复原、成核及其生长等现象的机理结出相应合理的唯象解释。通过确定二维或三维空间格栅所对应的态变量，元胞自动机模拟可以应用于对微结构的非均匀性质的研究，其中包括诸如第二相、微带、剪切带、过渡带、异相界面、晶界和孪晶等。这些局域性缺陷结构，可以借助其态变量的相应值或梯度值进行表述；用高位错密度和大的局域晶格曲率表征剪切带的特性。对于一个给定杂质含量的晶界迁移率m，可以采用相邻晶粒之间的取向偏差Δg和晶界法线的空间取向n来表征。6.3元胞自动机的一般表述在元胞自动机中，邻接格座的局域相互作用，是通过一套确定性或概率件变换规则具体确定的。在时间(t+Δt)时，对应于某特定格座的态变量值ξ将由目前状态(t0)(或最接近的几个态t0，t0-Δt等)及其邻近格点的状态决定。若只考虑最邻近的两个时间步，则对于一维元胞自动机的演化来说，可以用公式写成下式形式：表示在时间t0时对应于结点j的态变量值；j+1和j-1表示格点j的两个最近邻结点。f具体指定了描述变换规则的函数。00000001111,,,,,tjtjtjttjttjttjttjf(6.1)0tj6.3元胞自动机的一般表述几种邻接状态冯·诺伊曼邻接结点状态仅取决于最邻近结点摩尔邻接结点状态取决于最邻近结点和次邻近结点扩展摩尔邻接考虑两层邻近的元胞马哥勒斯邻接每次考虑一个2×2的元胞块邻接类型影响系统的转换速率和演化形态。1,11,21,32,12,22,33,13,23,31,11,21,32,12,22,33,13,23,3图6.1冯诺依曼邻接和摩尔邻接6.3元胞自动机的一般表述对于扩展配置，一维情况下，考虑两个邻近时间步时的转换规则可以写为：其中n表示单位晶格元胞变换规则的作用范围。00000000000,,,,,,,,,,,111111tnjtnjtjtjtjttjttjttjttnjttnjttjf(6.2)6.3元胞自动机的一般表述元胞自动机存在众多