平面向量的数量积及其应用

06—平面向量的数量积及其应用突破点(一)平面向量的数量积1．向量的夹角；2．平面向量的数量积；3．平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算1.利用坐标计算数量积的步骤第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可．2．根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．[典例](1)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于()A．－72B．－12C.32D.52(2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且BE＝23BC，DF＝16DC，则AE·AF的值为________．[解析](1)a＋2b＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a－b＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－12，所以b＝－12，1，所以a·b＝－1×－12＋2×1＝52.(2)取BA，BC为一组基底，则AE＝BE－BA＝23BC－BA，AF＝AB＋BC＋CF＝－BA＋BC＋512BA＝－712BA＋BC，∴AE·AF＝23BC－BA·－712BA＋BC＝712|BA|2－2518BA·BC＋23|BC|2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918.[答案](1)D(2)2918[易错提醒](1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．突破点(二)平面向量数量积的应用平面向量数量积的性质及其坐标表示：模、夹角、a⊥b|、a·b|与|a||b|的关系平面向量的垂直问题1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[例1](1)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥BC(2)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－92B．0C．3D.152[解析](1)在△ABC中，由BC＝AC－AB＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2，A错误．又AB＝2a且|AB|＝2，所以|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，B，C错误．所以(4a＋b)·BC＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥BC，D正确，故选D.(2)∵(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0.∵a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，∴2a－3b＝(2k－3，－6)．∴(2k－3，－6)·(2,1)＝0，即(2k－3)×2－6＝0.∴k＝3.[答案](1)D(2)C[易错提醒]x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．平面向量模的相关问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2＝a·a＝|a|2；(2)|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2.[例2](1)(2017·衡水模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为π3，那么|4a－b|＝()A．2B．6C．23D．12(2)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.[解析](1)|4a－b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cosπ3＝12.∴|4a－b|＝23.(2)∵e1·e2＝12，∴|e1||e2e1，e2＝12，∴e1，e2＝60°.又∵b·e1＝b·e2＝1＞0，∴b，e1＝b，e2＝30°.由b·e1＝1，得|b||e1|cos30°＝1，∴|b|＝132＝233.[答案](1)C(2)233[方法技巧]求向量模的常用方法(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝x2＋y2.(2)若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．平面向量的夹角问题求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积第二步分别求出这两个向量的模第三步根据公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22求解出这两个向量夹角的余弦值第四步根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角[例3](1)若非零向量a，b满足|a|＝223|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.π4B.π2C.3π4D．π(2)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝13，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.[解析](1)由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝223|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a||b|cosθ－2|b|2＝0，∴83|b|2－223|b|2·cosθ－2|b|2＝0.∴cosθ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.(2)∵a2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－2×3×2×13＝9，b2＝(3e1－e2)2＝9＋1－2×3×1×13＝8，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×13＝8，∴cosβ＝a·b|a||b|＝83×22＝223.[易错提醒](1)向量a，b的夹角为锐角⇔a·b0且向量a，b不共线．(2)向量a，b的夹角为钝角⇔a·b0且向量a，b不共线．突破点(三)平面向量与其他知识的综合问题平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查.平面向量与三角函数的综合问题[例1]已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－3sin2x)，b＝(cosx,1)，x∈R.(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，求边长b和c的值．[解](1)f(x)＝a·b＝2cos2x－3sin2x＝1＋cos2x－3sin2x＝1＋2cos2x＋π3，令2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．(2)∵f(A)＝1＋2cos2A＋π3＝－1，∴cos2A＋π3＝－1.又0Aπ，故π32A＋π3＜7π3，∴2A＋π3＝π，即A＝π3.∵a＝7，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc＝7.①∵向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，所以2sinB＝3sinC．由正弦定理得2b＝3c，②由①②，可得b＝3，c＝2.[方法技巧]平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路(1)向量平行(共线)、垂直与三角函数的综合：此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．(2)向量的模与三角函数综合：此类题型主要是利用向量模的性质|a|2＝a2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解．此类题型主要表现为两种形式：①利用三角函数与向量的数量积直接联系；②利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合．平面向量与几何的综合问题[例2](1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1,则AB的长为________．(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE·AF＝1，则λ的值为________．[解析](1)设|AB|＝x，x＞0，则AB·AD＝12x.又AC·BE＝(AD＋AB)·(AD－12AB)＝1－12x2＋14x＝1，解得x＝12，即AB的长为12.(2)由题意可得AB·AD＝|AB|·|AD|cos120°＝2×2×－12＝－2，在菱形ABCD中，易知AB＝DC，AD＝BC，所以AE＝AB＋BE＝AB＋13AD，AF＝AD＋DF＝1λAB＋AD，AE·AF＝AB＋13AD·1λAB＋AD＝4λ＋43－21＋13λ＝1，解得λ＝2.[答案](1)12(2)2[方法技巧]平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．[检验高考能力]一、选择题1．已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)，若a＋2b与c垂直，则k＝()A．－3B．－2C．1D．－1解析：选A因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以3k＋3＋23＝0，解得k＝－3.2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5B．4C．3D．2解析：选A由四边形ABCD是平行四边形，知AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝35，则b的坐标为()A．(3，－6)B．(－3,6)C．(6，－3)D．(－6,3)解析：选A由题意设b＝λa＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b|＝35，则－λ2＋2λ2＝35，所以λ＝－3，b＝(3，－6)，故选A.4．(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4C.94D．－94解析：选B∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.又4|m|＝3|n|，∴t×34|n|2×13＋|n|2＝0，解得t＝－4.故选B.5．(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为()A．－58B.18C.14D.118解析：选B如图所示，AF＝AD＋DF.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以AD＝12AB，DF＝12AC＋14AC＝34AC，所以AF＝12AB＋34AC.又BC＝AC－AB，则AF·BC＝1