数学核心素养的测评：基于PISA测评框架与试题设计的视角

2018年10月教育测量与评价一、研究缘起数学素养是影响学生个人成就与国家发展的重要因素之一，许多国家都十分重视学生数学素养的培养，并将它作为数学教育追求的共同目标。《美国学校数学教育的原则和标准》强调，在日新月异的现代社会，精通数学的人将比数学能力缺乏的人拥有更多创造未来的机会和可能性，也因此有可能享有更精彩的人生。[1]我国在新一轮的课程改革中，也十分重视数学素养的培养。《普通高中数学课程标准（2017年版）》中就提出了六大数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。然而，如何对数学核心素养进行测评，应该怎样科学地设计命题内容，增强基础性、综合性，着重考查学生独立思考和分析问题、解决问题的能力，这无疑成为教育领域十分具有挑战性的难题。[2]2000年，由经济合作与发展组织（OECD）发起的学生能力国际比较研究，即“国际学生评估项目（PISA）”在国际上广为流行，并逐渐成为最具国际影响力的教学评价项目之一。PISA关注的是，当完成义务教育时，学生在多大程度上掌握了全面参与社会所需要的问题解决能力和终身学习能力，其测评重点聚焦在15岁学生的阅读素养、数学素养和科学素养上。[3]PISA的实践经验对评价以及提升学生的数学素养有着重要的意义，也为数学核心素养的测评提供了重要的参考。在大力提倡发展学生核心素养的今天，本文尝试借鉴PISA测评框架设计数学核心素养的测评试题，并展开评价与讨论。二、PISA数学素养概念界定及其测评框架（一）概念界定PISA2012对数学素养的标准定义如下：数学素养是个人在不同情境下形成、应用和阐释数学的能力。它包括数学推理能力和使用数学概念、过程、事实和工具来描述、阐释以及预测现象的能力。数学素养有助于个体作为一个关心社会、善于思考的建设性公民，识别数学在世界中所起的作用并做出有根据的数学判断和决定。[4]显然，数学素养是一种相对稳定的心理品质，但也存在很大的个人差异性。正是它的相对稳定性本文是华中师范大学2018年中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（教师教育研究专项）“基于学习分析技术的学生数学核心素养形成机理研究（CCNUTE2018-09）”和2017年湖北省高等学校省级教学研究项目“提升数学卓越教师数学核心素养的理论与实践研究（201794）”的研究成果。胡典顺/华中师范大学数学与统计学学院教授，博士生导师，主要研究方向为数学课程与教学论。（武汉430079）雷沛瑶/华中师范大学数学与统计学学院硕士生，主要研究方向为数学课程与教学论。刘婷/广东省中山市华侨中学教师，主要研究方向为数学教学。【摘要】借鉴PISA的测评框架，设计学生数学核心素养测评试题，并对学生的数学核心素养发展水平科学有效地进行测评，是教育测量领域面临的一个十分富有挑战性的难题。它的设计应以数学核心素养为导向，坚持实用性、科学性、规范性以及引导性等原则。为了更好地开展数学核心素养测评，应以人为本，关注学生的数学品质与能力；多维共建，在设计测评框架时兼顾科学性和适用性；精选素材，展现试题内容的真实性与创意；严谨编码，分析测评结果的个性与共性。【关键词】核心素养；数学；测评；试题设计；PISA【中图分类号】G424.74【文献标识码】A【DOI编码】10.16518/j.cnki.emae.2018.10.007胡典顺雷沛瑶刘婷数学核心素养的测评：基于PISA测评框架与试题设计的视角考试研究荫402018年10月教育测量与评价表13种数学过程与7种数学基本能力的关系数学表述数学运用数学阐释数学交流阅读、解码、有意义的表述、问题、任务、对象、图像或动画（在机考中）以形成情境下的心理模型清晰表达解答，展示达到解答的过程，或总结和提供中间的数学结果在问题情境下，构建、交流解释和论证数学化在现实问题中，识别基本的数学变量和结构，做出假设，以便运用对情境的理解指导或加快数学地解决问题过程理解采用数学模型进行数学解答的范围和限制数学表征创建现实世界信息的数学表达当与一个问题相互作用时，理解、关联和运用不同的表达在有关的情境或应用中，用不同的方式解释数学的结果；在有关的情境下比较或评价两种或更多的表达数学推理与论证为确定或设计一个现实情境的表达，解释、辩护或提供正当的理由对用于确定数学结果或解答的过程和程序进行解释、辩护或提供一个充分的理由；连接信息碎片获得数学的解答，做出概括，或创建多步骤的证明反思数学解答，对情境问题创建支持、反驳或描述数学解答的解释和证明设计问题的解决策略选择或制定一个计划或策略以数学化地重构情境问题在通向数学解答、结论或概括的多步骤的过程中，激活有效和持续的控制机制为解释、评价和证实一个情境问题的数学解答来制定和实施一个策略使用符号、公式、专业语言和运算为了用符号（形式化）语言描述现实问题，使用恰当的变量、符号、图表和标准模式基于定义、规则、和形式体系以及运用算法，理解和使用形式化的结构理解问题的背景与数学解答的表述之间的关系，用这个理解帮助解释情境的解答，判断解答的可行性和局限性使用数学工具用数学工具识别数学结构或描绘数学关系了解并能正确使用可能有助于实现过程和程序确定的数学解答的各种工具使用数学工具确定数学解答的合理性和所给出情境问题的任何限制和约束和个人差异性，才使得针对数学素养的测评得以实现。数学素养内涵中对真实情境的强调，一方面，是为促进学生的创新能力和实践能力寻找坚固的立足点；另一方面，是为了培养学生更好地适应当前的生活和面对未来生活的信心，以及适应社会高速发展的能力。（二）测评框架PISA测试框架分别从内容维度、过程维度和情境维度来考查学生的数学素养，详见图1。1.内容维度PISA数学素养测评框架中的内容维度包括：变化与关系、空间与图形、数量、不确定性与数据。这4个方面的数学内容是PISA参与国或地区就数学教育内容和学生成绩做国际比较并达成广泛共识后确定的。具体来看，变化与关系涉及现实情境中离散的变化、连续的变化等各种变化关系，要求学生利用适当的函数或方程进行建模，创造符号或图示来表征关系，并阐释这些表征以及在表征间相互转换；空间与图形则涉及对图形的表征、测量，以及对图形的理解，接近学校几何课程的要求，但更多地要求学生在真实情境中综合运用数学知识，对图形进行操作和解释；数量是描述和测量现实世界多种特征类别的主要方法，主要考查学生对数量方面特征、关系的理解，要求学生基于数量的解释和推论做出判断；不确定性与数据主要应对传统课程领域中的概率和统计问题，要求学生学会收集数据、对数据进行分析、根据数据的结果对现象进行推断和预测等。2.过程维度PISA数学素养测评框架中的过程维度力图揭示学生在问题解决中的思维过程和在此过程荫考试研究数学核心素养的测评：基于PISA测评框架与试题设计的视角图1数学素养测评框架4种背景分类情境维度7种基本能力3种数学过程过程维度4方面内容知识内容维度数学素养测评框架412018年10月教育测量与评价中所蕴含的数学基本能力。问题解决的思维包括3个过程领域，即数学表述、数学运用和数学阐释。3个过程领域所蕴含的数学基本能力包括：数学交流；数学化；数学表征；数学推理和论证；设计问题的解决策略；使用数学符号、公式、语言；使用数学工具。数学表述，即数学化的表述，是指将现实世界的情境转化为数学情境，以数学的结构、表征和方法解决现实问题。具体地说，数学表述是问题解决者努力明确该问题情境中相关的数学内容，根据数学概念和包含的数学关系进行简单的假设，并用数学语言进行表述的过程。数学运用，是指个人运用数学概念、事实、步骤和推理来解决数学问题，并获得数学结论的过程。即在通过数学表述得到“数学问题”的基础上，问题解决者运用数学概念、数学步骤、数学事实和数学工具去获得“数学结果”。比如，进行代数运算、解方程式、从数学假设中得到逻辑推理、进行抽象运算、从图表中提取数学信息，展现和分析空间中的形状、分析数据等。数学阐释关注的则是学生反思数学方案、结果或结论，以及在现实问题情境中解释结果的能力。这涉及转化数学方案，或往回推理到问题情境，判断结果是否合理、在问题情境中是否说得通。这一数学过程范畴包括了“阐释”与“评估”两个方面，学生需要在问题情境下，架构、沟通解释和论证，同时反思建模过程及其结果。此外，每一个数学过程都有相应的7种基本能力。3种数学过程和7大数学基本能力相辅相成，共同构成了数学过程这一维度，它们之间的相互关系详见表1。3.情境维度数学素养强调学生在各种情境下表征、运用和阐述数学的能力。问题产生于情境之中，问题情境是指知识在其中得以存在和应用的环境背景或活动背景。本研究主要考查学生在现实生活中常见的4类情境，分别为个人情境、社会情境、职业情境和科学情境。个人情境是与学生的日常活动直接相关的情境，这类问题是与学生关系最为密切的、曾经参与的、能够直接激活学生的知觉背景；社会情境是学生所在社区或更大的生活环境，与社会情境相关的问题要求学生了解周围环境中各个要素的联系，能利用数学对公共生活的各个方面进行理解、联系和评估；职业情境一般出现在学生的学校生活或者工作情境中，职业情境类问题要求学生在特定的工作环境中用数学解答的一些特殊问题；科学情境对大部分学生而言最为陌生，学生亲身参与体验的机会少，因为它可能涉及对一个技术过程或理论情境的理解，相对而言比较抽象，它既包括学生在课堂内经常碰到的相对抽象的数学情境，也包括课堂外广泛的科学背景中的问题。综上可知，数学素养测评框架构建的目的在于通过多方面、分层次地评价，促进学生以及教师对数学素养形成准确、深刻而全面的理解，促进学生将数学学习与生活学习结合得更加紧密。这有利于学校决策者在设计教学活动时将提高学生数学素养有机地融合到决策中，营造一个以数学素养为中心、以活动为载体、以文化为内涵的学习环境，全面提升学生的数学核心素养。对我国中学数学教育环节进行评价和审视，由此可以看出，学生在学校的学习活动中涉及的数学问题多是抽象、随意编制、与学生的真实生活远离的，许多数学问题多是脱离现实情境而设计的，只是小范围、有针对性地考查学生的知识掌握和运用情况，但学生走出校园后所面对的问题都是复杂多变的，因此，数学问题应该基于真实世界问题情境来设计（如图2）。基于真实世界问题情境设计数学问题，其目的有二：一方面，情境的真实性有助于激发学生的兴趣和主动性，情境的多样性、开放性和复杂性为学生尝试运用已有的知识和经验去寻找创造性解决问题的方案提供了足够的空间，有利于培养更有创造力的专业型人才，并能够培养更快、更好适应社会发展的社会公民；另一方面，真正做到了尊重学生的必然要求，由于学生自身先天条件的差异，接触数学教育的机会不平等，即考试研究荫数学核心素养的测评：基于PISA测评框架与试题设计的视角422018年10月教育测量与评价使同一个班级学生的发展状况也各不相同，传统的、标准化的、脱离现实情境的数学问题会极大地挫伤学生的自信心，容易引发学生的学习无助感和无力感。脱离真实情境的评价也无法评估学生的真实水平，甚至否认学生的现有基础。三、数学核心素养测试题的设计（一）设计原则对于数学核心素养测评试题的设计，应该遵从如下4个原则。1.实用性原则以现实需求为基础，充分考虑学生发展的需要，设计相应的测评工具。2.科学性原则形成数据统计分析模式，保证测试工具的信度、效度，增强测试结果的科学性。3.规范性原则严格遵守国家教育法律法规，参考义务教育数学课程标准，充分考虑教学差异和学生差异，规范流程、严格操作，确保监测结果真实有效。4.引导性原则全面监测学生数学核心素养各方面，重点考查学生对情境的分析及结合各种情境评价学生的应用能力，培养学生的实践能力及创新能力，推进素质教育的有效实施。（二）设计思路数学核心素养测评试题的设计应该与数学课程改革的目标统一起来，这是为了将数学课程、数学教学和数学测评统一起来，做到以考促学，以达到共同发展学生核心素养的教育目标。建构以数学核心素养为导向的设计流程，应坚持以数学核心素养为导向，准确理解核心素养的内涵、具体表现及水平描述，以相应水平的质量标