2017届江苏省扬州市高三第一学期期末检测数学试题

数学试题答案第1页（共14页）2016—2017学年度第一学期期末检测试题高三数学2017.01试题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合{0}Axx，{1012}B，，，，则AB▲．2．设1ii1iab(i为虚数单位，a，bR)，则ab▲．3．某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是▲．4．如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x的值为5，则输出的y的值为▲．5．已知直线:320lxy与圆22C:x+y=4交于,AB两点，则弦AB的长度为▲．6．已知,AB3,1,1,2且AB，则直线10AxBy的斜率小于0的概率为▲．7．若实数,xy满足10101xyyxx，则23zxy的最大值为▲．8．若正四棱锥的底面边长为2（单位：cm），侧面积为8（单位：2cm），则它的体积为▲（单位：3cm）.9．已知抛物线216yx的焦点恰好是双曲线222112xyb的右焦点，则双曲线的渐近线方程为▲．10．已知1cos()33()20，则sin()▲．11．已知1,5xx是函数cos0fxx两个相邻的极值点，且fx在2x处的导数20f，则0f▲．（第4题图）数学试题答案第2页（共14页）12．在正项等比数列{}na中，若4321226aaaa，则56aa的最小值为▲．13．已知ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足2133AQAPAC，则BQ的最小值是▲．14．已知一个长方体的表面积为48（单位：2cm），12条棱长度之和为36（单位：cm），则这个长方体的体积的取值范围是▲（单位：3cm）．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）在ABC中，6AB，32AC，18ABAC．（1）求BC的长；（2）求tan2B的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点.（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若AP=AD，且平面PAD平面ABCD，证明：AF平面PCD.数学试题答案第3页（共14页）17．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观．在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方.经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，4MPN.记EPM（弧度），监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米．（1）求S关于的函数关系式，并写出的取值范围；（参考数据：5tan34）（2）求S的最小值.18．（本小题满分16分）如图，椭圆2222:1(0)xyCabab，圆222:Oxyb，过椭圆C的上顶点A的直线l:ykxb分别交圆O、椭圆C于不同的两点P、Q，设APPQ．（1）若点(3,0),P点(4,1),Q求椭圆C的方程；（2）若3，求椭圆C的离心率e的取值范围．xyAPQO数学试题答案第4页（共14页）19．（本小题满分16分）已知数列{}na与{}nb的前n项和分别为nA和nB，且对任意nN，112()nnnnaabb恒成立．（1）若21,2nAnb，求nB；（2）若对任意nN，都有nnaB及3124122334113nnnbbbbaaaaaaaa成立，求正实数1b的取值范围；（3）若12,a2nnb，是否存在两个互不相等的整数,st(1)st，使11,,ststAAABBB成等差数列？若存在，求出,st的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数()()()fxgxhx，其中函数()xgxe，2()hxxaxa．（1）求函数()gx在1,(1)g处的切线方程；（2）当02a时，求函数()fx在[2,]xaa上的最大值；（3）当0a时，对于给定的正整数k，问函数()()2(ln1)Fxefxkx是否有零点？请说明理由．（参考数据2.718,1.649,4.482,ln20.693eeee）数学试题答案第5页（共14页）2016—2017学年度第一学期期末检测试题高三数学2017.01试题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）21．（本小题满分10分）已知,abR，若点(1,2)M在矩阵14abA对应的变换作用下得到点(2,7)N，求矩阵A的特征值.22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos1sinxy（为参数），以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为4，试求直线l与曲线C的交点的直角坐标.数学试题答案第6页（共14页）23．（本小题满分10分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的.（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和数学期望()EX.24．（本小题满分10分）已知010011(1)C()(1)C()(1)C(),()nnnnnnnFxfxfxfxnN()(0)x，其中i()fx(i0,1,2,,)n是关于x的函数.（1）若ii()=fxx(i)N，求21F()，20172F()的值；（2）若i()=(i)ixfxx+N，求证：!=(1)(2)()nnFxxxxn()()nN.数学试题答案第7页（共14页）2016-2017学年度高三第一学期期末测试数学试题Ⅰ参考答案2017．1一、填空题1．{1,0}2．03．2004．155．236．137．88．4339．33yx10．322611．2212．4813．27314．[16,20]15.⑴因为cos18ABACABACA，且6AB，32AC，2222=2cos=6(32)2(18)=310BCABACABACA--.---------------6分⑵方法一：在ABC中，6AB，32AC，=310BC，2222226310)32)310cos===21026310BABCACBBABC-(-(，--------------------9分又(0,)B，所以210sin=1cos=10BB，所以sin1tancos3BBB，-------------11分所以2222tan33tan2=11tan41()3BBB-.---------------------14分方法二：由6AB，32AC，cos18ABACABACA可得2cos=2A，又(0,)A，所以34A.---------------------8分在ABC中，sinsinBCACAB，所以232sin102sin10310ACABBC，-----------10分又(0,)4B，所以2310cos=1sin=10BB，所以sin1tancos3BBB，所以2222tan33tan2=11tan41()3BBB-.---------------------14分16.（1）证明：因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，所以EF∥CD，又在矩形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB，---------------------3分又AB面PAB，EF面PAB，所以EF∥平面PAB.---------------------6分数学试题答案第8页（共14页）⑵证明：在矩形ABCD中，AD⊥CD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD面ABCD，所以CD平面PAD，---------------------10分又AF面PAD，所以CDAF.①因为PA=AD且F是PD的中点，所以AFPD，②由①②及PD面PCD，CD面PCD，PD∩CD=D，所以AF平面PCD.-----------------14分17.⑴方法一：在PME中，EPM，PE=AE-AP=4米，4PEM，34PME，由正弦定理得sinsinPMPEPEMPME，所以sin2243sinsincossin()4PEPEMPMPME，---------------------2分同理在PNE中，由正弦定理得sinsinPNPEPENPNE，所以sin2222sincossin()2PEPENPNPNE，---------------------4分所以PMN的面积S1sin2PMPNMPN24cossincos41cos21sin22288sin2cos22sin(2)4，--------------------8分当M与E重合时，0；当N与D重合时，tan3APD,即54APD，3544，所以35044.综上可得：82sin(2)4S,350,44.---------------------10分方法二：在PME中，EPM，PE=AE-AP=4米，4PEM，34PME，由正弦定理可知：sinsinMEPEPME，所以sin4sin42sin3sinsincossin()4PEMEPME，---------------------2分在PNE中，由正弦定理可知：sinsinNEPEEPNPNE，数学试题答案第9页（共14页）所以sin()4sin()22(sincos)44coscossin()2PENE，---------------------4分所以222cossincosMNNEME,又点P到DE的距离为4sin224d，---------------------6分所以PMN的面积S=21441cos212cossincossin222MNd88sin2cos22sin(2)4，---------------------8分当M与E重合时，0；当N与D重合时，tan3APD,即54APD，3544，所以35044.综上可得：82sin(2)4S,350,44.---------------------10分⑵当242即350,844时，S取得最小值为88(21)2.---------13分所以可视区域PMN面积的最小值为8(21)平方米.---------------------14分18.（1）由P在圆222:Oxyb上得3,b又点Q在椭圆C上得2222(4)(1)1