四随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征第一节数学期望第二节方差第三节协方差与相关系数第四节矩、协方差矩阵第一节数学期望上一页下一页返回X---打靶得分，“脱靶”记0分，“中靶未中靶心”记1分，“中靶心”记2分X---打靶得分，“脱靶”记0分，“中靶未中若统计100天,可以得到这100天中每天的平均废品数为引例：某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;27.1100213100172100301100320这个数能否作为X的平均值呢？可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.nnnnnnnn32103210可以得到n天中每天的平均废品数为一般来说,若统计n天,(假定小张每天至多出三件废品)这是以频率为权的加权平均nnnnnnnn32103210由频率和概率的关系不难想到，在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为32103210pppp这是以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X的平均值.则对X作一系列观察(试验)，所得X的试验值的平均值也是随机的.由此引入离散型r.vX的数学期望的定义如下:1kkkpx对于一个随机变量X，若它可能取的值是x1,x2,…,相应的概率为p1,p2,…,但是，如果试验次数很大，出现xk的频率会接近于pk，于是可期望试验值的平均值接近:1定义为随机变量X的数学期望，简称期望，记为E(X)，即E(X)是一个实数，形式上是X的可能值的加权平均数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称E(X)为X的平均值，简称均值。它完全由X的分布所决定，又称为分布的均值.上一页下一页返回例1:某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件产品有60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的利润分别为5元，2元和-4元。问厂家对每件产品可期望获利多少？解:设X表示一件产品的利润(单位：元),X的分布率为X52-4P0.60.20.2X的数学期望:虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每件产品的平均利润为2.6元，还是有利可图的。上一页下一页返回例2:设随机变量X取值为时，,2,1,2)1(kkxkkkkkp21:对应的概率为试问随机变量X的数学期望是否存在?1111212)1(kkkkkkkkkkpx由于不存在。故发散级数)(,XEkk11解:例3：设的概率密度为：)(,,)(XExxexfx求000dxxxfXE)()(00xxxdedxxe1]0[00dxedxexexxx解:例3：设X服从参数为p的（0-1）分布，求E(X)。解：X的分布律为X01Pqp0p1,q=1-p常用随机变量的数学期望：上一页下一页返回例4：设X~b(n，p)，求E(X)。解：X的分布律为则：上一页下一页返回上一页下一页返回例6：设X~U(a，b)，求E(X)。上一页下一页返回上一页下一页返回定理1:设Y是随机变量X的函数，即Y=g(X),g(x)是连续函数。随机变量函数的数学期望：上一页下一页返回推广：设Z是随机向量（X,Y）的函数，即Z=g(X,Y)（g(x,y)是连续函数）上一页下一页返回有：例8：设圆的直径X～U(a,b)，求圆的面积的期望。上一页下一页返回例:(P89)。求：所围三角区域。轴及直线轴为由其中上服从均匀分布，在区域设随机变量)(),(),(12/,),(XYEYEXEyxyxAAYXxy210Y=2-2xAyxAyxyxfSA),(,0),(,1),(,1解：3/1),()(10220xAdyxdxxdxdydxdyyxxfXE3/2),()(202/10yAdxydyydxdydxdyyxyfYE6/1)1(2),()(10210220dxxxydyxdxxydxdydxdyyxxyfXYExAA定理2：设随机变量X,Y的数学期望E(X),E(Y)存在.随机变量数学期望的性质：上一页下一页返回例9：将n封不同的信的n张信笺与n个信封进行随机匹配，记X表示匹配成对数，求E（X）。上一页下一页返回例:(P91)的均值。试求电压其他。其他；，概率密度为变量，是两个相互独立的随机与电阻设一电路中电流IRVrrrhiiigRI,0,30,9)(,010,2)(2)(23)9)(2(])(][)([)()()()(303102VdrrdiidrrrhdiiigREIEIREVE解：第二节方差引例：X---甲厂灯泡的寿命,Y---乙厂灯泡的寿命甲：0.50.5pk950930X问:哪个厂的灯泡质量好?940)()(YEXE乙：0.50.250.25pk1100980580Y显然，甲厂灯泡取值集中，而乙厂灯泡取值分散，所以甲厂灯泡应该更好一些我们需要引进一个量来描述r.v.X的取值分散程度，即X的取值与E(X)的偏离程度)(XEX偏离的度量：平均偏离：)(XEXE绝对值（不好研究）但是，绝对值（大）平方（大)所以我们研究2)(EXXE方差:1定义上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回方差的性质设随机变量X与Y的方差存在，则上一页下一页返回例:(P96)).(),()(),0()(),(2YDYEXEXYXDXEX，求令：的均值为设随机变量0)]()([1)]([1])([)(XEXEXEXEXEXEYE解：1)()]([1])([)(22XDXEXDXEXDYD的标准化随机变量。为称XXEXY)(几种重要随机变量的数学期望与方差X01P1-pp上一页下一页返回设：X=“n次试验中事件A发生的次数”.;,否则，发生次试验中事件第引入01AiXini,,2,1显然,niinXXXXX121相互独立，且由于iXp1-ppk10XinippXDpXEii,,2,1)1()(,)()()()()()()()(pnpXDXDXDnpXEXEXEniiniiniinii11111所以泊松分布.3上一页下一页返回均匀分布.4上一页下一页返回正态分布.6上一页下一页返回)(XE已知：,dxexdxxfXExXDx222)(2221)()()]([)(因而正态分布完全可由它的均值和方差确定。上一页下一页返回例:(P98)汽缸的概率。和汽缸，求活塞能装入塞相互独立，任取一只活、，汽缸直径设活塞直径YXNYNX)04.0,50.22(~),03.0,40.22(~22YXZYXPYXP令解：据题意需求}.0{}{22205.004.003.0)()()(10.050.2240.22)()()(YDXDZDYEXEZE)05.0,10.0(~2NZ9772.0)2()05.010.0(}05.0)10.0(005.0)01.0({}0{}{ZPZPYXP第三节协方差与相关系数上一页下一页返回若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为P{X=xi，Y=yj}=pij，i,j=1,2,…若(X,Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)上一页下一页返回0),(,YXCovYX相互独立时，特别：当:3定理:协方差性质上一页下一页返回略证明（1）Rk0)(),cov(2)()(2YDYXkXDkkXYD)1)(()()(),(cov1)()()],[cov()()()(),cov(222XYYDYDXDYXYDXDYXYDkXYDXDYXk，则令01,0)(,0)(2XYYDkXYD则1XY（2）因为X,Y相互独立，有0)()(),(0),(YDXDYXCovYXCovXY上一页下一页返回X,Y不相关(弱)X,Y相互独立(强)(没有线性关系）(没有任何关系）负相关；正相关,0,0XYXY称上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回，则，令：1111222)(11xuxytdtdueutuYXCovtu2222122122)1(21),(21212222122221222))((21)(22222dtteduuedtedueututu）（2121)()(),(YDXDYXCovXY有：则有即不相关当,0,XY即独立),()(),(yfxfyxfYX不相关独立正态第四节矩、协方差矩阵上一页下一页返回设n维随机变量(X1,X2,···Xn)的1+1阶混合中心矩为n维随机变量(X1,X2,···Xn)的协方差矩阵。都存在，则称矩阵协方差矩阵具有以下性质：（1）协方差矩阵为对称矩阵;（2）协方差矩阵为非负定矩阵。协方差Cov(X,Y)是X和Y的1+1阶混合中心矩上一页下一页返回上一页下一页返回