导数的概念及运算-练习题

1导数的概念及运算[A级保分题——准做快做达标]1．曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为()A．(1－e)x－y＋1＝0B．(1－e)x－y－1＝0C．(e－1)x－y＋1＝0D．(e－1)x－y－1＝0解析：选C由于y′＝e－1x，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.2．已知函数f(x)＝alnx＋bx2的图象在点P(1，1)处的切线与直线x－y＋1＝0垂直，则a的值为()A．－1B．1C．3D．－3解析：选D由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上，所以f(1)＝1，即aln1＋b×12＝1，解得b＝1，所以f(x)＝alnx＋x2，故f′(x)＝ax＋2x.则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率k＝f′(1)＝a＋2，因为切线与直线x－y＋1＝0垂直，所以a＋2＝－1，即a＝－3.3．(2019·珠海期末)曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：选B由题意知点(1,3)在曲线y＝x3－2x＋4上．∵y＝x3－2x＋4，∴y′＝3x2－2，根据导数的几何意义，可知曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝1，∴曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为45°.故选B.4．(2019·青岛模拟)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2018(x)＝()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx解析：选C∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，…，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2018＝4×504＋2，∴f2018(x)2＝f2(x)＝－sinx＋cosx，故选C.5．(2019·山东省实验中学一模)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为()A．(0,0)B．(1，－1)C．(－1,1)D．(1，－1)或(－1,1)解析：选Df′(x)＝3x2＋2ax，依题意，得3x20＋2ax0＝－1，x0＋fx0＝0，fx0＝x30＋ax20，解得a＝－2，x0＝1，fx0＝－1或a＝2，x0＝－1，fx0＝1，故选D.6．(2019·湖北黄石二中一模)若直线y＝kx＋2是函数f(x)＝x3－x2－3x－1图象的一条切线，则k＝()A．1B．－1C．2D．－2解析：选C直线y＝kx＋2过(0,2)，f′(x)＝3x2－2x－3，设切点为(x0，y0)，故切线方程为y－y0＝(3x20－2x0－3)(x－x0)，将(0,2)代入切线方程并结合y0＝x30－x20－3x0－1，解得x0＝－1，y0＝0，代入y＝kx＋2，解得k＝2.7．(2019·银川一中月考)设函数f(x)＝3sinθ3x3＋cosθ2x2＋4x－1，θ∈0，5π6，则导数f′(－1)的取值范围是()A．[3,4＋3]B．[3,6]C．[4－3，6]D．[4－3，4＋3]解析：选B求导得f′(x)＝3x2sinθ＋xcosθ＋4，将x＝－1代入导函数，得f′(－1)＝3sinθ－cosθ＋4＝2sinθ－π6＋4，由θ∈0，5π6，可得θ－π6∈－π6，2π3，∴sinθ－π6∈－12，1，∴2sinθ－π6＋4∈[3,6]．故选B.8．(2019·巴蜀中学模拟)已知曲线y＝2xx－1在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为25，则直线l的方程为()A．2x＋y＋2＝03B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0C．2x－y－18＝0D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0解析：选By′＝x－－2xx－2＝－2x－2，y′|x＝2＝－2－2＝－2，因此kl＝－2，设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意得|2×2＋4－b|5＝25，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B.9．(2019·成都双流区模拟)过曲线y＝x2－2x＋3上一点P作曲线的切线，若切点P的横坐标的取值范围是1，32，则切线的倾斜角的取值范围是()A.0，π2B.0，π4C．[0，π)D.3π4，π解析：选B因为y′＝2x－2,1≤x≤32，所以0≤2x－2≤1.设切线的倾斜角为α，则0≤tanα≤1.因为0≤α≤π，所以0≤α≤π4，故选B.10．(2019·广东七校联考)函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是()解析：选A法一：由题意，得f′(x)＝cosx＋x(－sinx)＝cosx－xsinx，f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数．又f′(0)＝1，所以排除C、D；令g(x)＝f′(x)＝cosx－xsinx，则g′(x)＝－xcosx－2sinx，易知g′(0)＝0，且当x∈0，π2时，g′(x)0，f′(x)单调递减，当x∈－π2，0时，g′(x)0，f′(x)单调递增，所以f′(x)在x＝0处取得极大值，排除选项B.故选A.法二：由题意，得f′(x)＝cosx＋x(－sinx)＝cosx－xsinx，又f′(0)＝1，4所以排除C，D；当x∈0，π2时，y＝cosx单调递减，对于y＝xsinx，y′＝xcosx＋sinx0，则y＝xsinx单调递增，则f′(x)＝cosx－xsinx在0，π2上单调递减．故选A.11．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2lnx在点(1,0)处的切线方程为______________．解析：因为y′＝2x，y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.答案：y＝2x－212．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．解析：由y＝x2－lnx，得y′＝2x－1x(x＞0)，设点P0(x0，y0)是曲线y＝x2－lnx上到直线y＝x－2的距离最小的点，则y′x＝x0＝2x0－1x0＝1，解得x0＝1或x0＝－12(舍去)．∴点P0的坐标为(1,1)．∴所求的最小距离为|1－1－2|2＝2.答案：213．(2019·石家庄二中月考)已知函数f(x)＝1x，g(x)＝x2.若直线l与曲线f(x)，g(x)都相切，则直线l的斜率为________．解析：因为f(x)＝1x，所以f′(x)＝－1x2，设曲线f(x)与l切于点x1，1x1，则切线斜率k＝－1x21，故切线方程为y－1x1＝－1x21(x－x1)，即y＝－1x21x＋2x1.与g(x)＝x2联立，得x2＋1x21x－2x1＝0.因为直线l与曲线g(x)相切，所以1x212－4－2x1＝0，解得x1＝－12，故斜率k＝－1x21＝－4.答案：－414．(2019·淄博六中期末)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为________．解析：设曲线上过点P(x0，y0)的切线平行于直线2x－y＋3＝0，即斜率是2，则y′|x5＝x0＝22x0－1＝2，解得x0＝1，所以y0＝0，即点P(1,0)．又点P到直线2x－y＋3＝0的距离为|2－0＋3|22＋－2＝5，所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是5.答案：515．(2019·孝感高中期中)已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．解：(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)设切点为(x0，x30－x0)，则切线方程为y－(x30－x0)＝f′(x0)(x－x0)．又切线过点(1，b)，所以(3x20－1)(1－x0)＋x30－x0＝b，即2x30－3x20＋b＋1＝0.由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图像可知g(0)g(1)0即可，可得b∈(－1,0)．16．设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3，当x＝2时，y＝12.又f′(x)＝a＋bx2，所以2a－b2＝12，a＋b4＝74，解得a＝1，b＝3.故f(x)＝x－3x.6(2)是定值，理由如下：设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由f′(x)＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝1＋3x20(x－x0)，即y－x0－3x0＝1＋3x20(x－x0)．令x＝0，得y＝－6x0，得切线与直线x＝0的交点坐标为0，－6x0.令y＝x，得y＝x＝2x0，得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S＝12－6x0·|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.[B级难度题——适情自主选做]1．(2019·蚌埠质检)已知函数f(x)＝xa－1ex，曲线y＝f(x)上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是()A．(－e2，＋∞)B．(－e2,0)C.－1e2，＋∞D.－1e2，0解析：选D∵曲线y＝f(x)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，∴f′(x)＝a＋(x－1)e－x＝0有两个不同的解，即a＝(1－x)e－x有两个不同的解．设y＝(1－x)e－x，则y′＝(x－2)e－x，∴当x2时，y′0，当x2时，y′0，则y＝(1－x)e－x在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴x＝2时，函数y取得极小值－e－2.又∵当x2时总有y＝(1－x)e－x0且f(0)＝10，∴可得实数a的取值范围是－1e2，0.故选D.2．(2019·山东名校调研)已知曲线y＝ex＋a与y＝x2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是()A．[2ln2－2，＋∞)B．(2ln2，＋∞)C．(－∞，2ln2－2]D．(－∞，2ln2－2)7解析：选D由题意可设直线y＝kx＋b(k0)为它们的公切线，联立y＝kx＋b，y＝x2可得x2－kx－b＝0，由Δ＝0，得k2＋4b＝0①.由y＝ex＋a求导可得y＝ex＋a，令ex＋a＝k，可得x＝lnk－a，∴切点坐标为(lnk－a，klnk－ak＋b)，代入y＝ex＋a可得k＝klnk－ak＋b②.联立①②可得k2＋4k＋4ak－4klnk＝0，化简得4＋4a＝4lnk－k.令g(k)＝4lnk－k，则g′(k)＝4k－1，令g′(k)＝0，