中考试题自主招生考试题选讲(一).docx

——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水泉港三川中学2015年自主招生考试数学题选讲（一）本试卷满分120分，考试时间150分钟）一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得5分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．1如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．2如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．思路分析：分三段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，③点P在BC上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象．解：在Rt△ADE中，AD=2213AEDE，在Rt△CFB中，BC=2213BFCF，——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水①点P在AD上运动：过点P作PM⊥AB于点M，则PM=APsin∠A=1213t，此时y=12EF×PM=3013t，为一次函数；②点P在DC上运动，y=12EF×DE=30；③点P在BC上运动，过点P作PN⊥AB于点N，则PN=BPsin∠B=1213（AD+CD+BC-t）=12(31)13t，则y=12EF×PN=30(31)13t，为一次函数．综上可得选项A的图象符合．故选A．点评：本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式，当然在考试过程中，建议同学们直接判断是一次函数还是二次函数，不需要按部就班的解出解析式．3已知点P（0,3）与点Q(2a+b，a+2b)关于原点对称，则ab的值为()A.2B.2C.0.5D.0.54已知点P（x,x），则点P一定（）（A）在第一象限（B）在第一或第二象限（C）在x轴上方（D）不在x轴下方——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水5已知数轴上三点A、B、C分别表示有理数a、1、－1，那么a1表示（）（A）A、B两点的距离（B）A、C两点的距离（C）A、B两点到原点的距离之和（D）A、C两点到原点的距离之和6．如图，BE是半径为6的D的14圆周，C点是BE上的任意一点，ABD△是等边三角形，则四边形ABCD的周长p的取值范围是（C）Ａ．1218p≤Ｂ．1824p≤Ｃ．181862p≤Ｄ．121262p≤7．如图，O为原点，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，4)，⊙D过A、B、O三点，点C为弧ABO上的一点(不与O、A两点重合)，则cosC的值是【D】A．34B．35C．43D．458世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：111212131613AOCByx——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水1411211214151201301201516130160160130161714211051140110514217……………………………………………………第8题图则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（B）A．1132B．1360C．1495D．1660二、填空题（每小题4分，共20分）1随意抛一粒豆子，恰好落在如图5的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子落在黑色方格中的概率是.2.如果将电影票上“6排3号”简记为，那么“10排10号”可表示为；表示的含义是.【答案】;7排1号3.已知点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1－b），则ab的值为__________.——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水4如图，AC是O的直径，60ACB，连接AB，过AB，两点分别作O的切线，两切线交于点P．若已知⊙O的半径为１，则PAB△的周长为33．三．能力（5分）选做题每问5分必选一题。1正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．思路分析：（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．解：（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，60——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，90AOEOBGAEOOGBOAOB，∴△AOE≌△OBG（AAS），∴OG=AE，OE=BG，∵AF-EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE-GE=OE-BF，∴AF-OE=OE-BF，∴AF+BF=2OE；（2）图2结论：AF-BF=2OE，图3结论：AF-BF=2OE．对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，90AOEOBGAEOOGBOAOB，∴△AOE≌△OBG（AAS），∴OG=AE，OE=BG，∵AF-EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，∴AF-OE=OE+BF，∴AF-BF=2OE；若选图3，其证明方法同上．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．四、解答题（共5小题，满分55分）——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水1（本小题10分）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．（3）利用折叠找出图中相等的线段和相等的角；由相似找出图中相等的角；可知30BCE，由直角三角形的性质可得ECBE21,而ABCDEC,所以ABBE21，由33tanBCBEBCE可得——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水332BCAB试题解析：（2）作图如下：考点：1、相似三角形的判定.2、利用直径所对的圆周角是直角找符合条件的点.3、三角函数.——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水2.（7分）如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）244.【解析】——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水考点：1.圆周角定理；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.切线的判定；5.平行四边形的判定和性质；6.扇形面积的计算；7.转换思想的应用.考点：1.动点问题；2.切线的性质；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.垂径定理；6.三角形的面积；7.分类思想的应用.3．（本小题满分9分）——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的B经过点O，且与xy，轴分交于点AC，，点A的坐标为30，，AC的延长线与B的切线OD交于点D．（1）求OC的长和CAO的度数；（2）求过D点的反比例函数的表达式．3．解：（1）90AOC∠，AC是B的直径，2AC·······················1分又点A的坐标为(30)，，3OA22222(3)1OCACOA···················2分1sin2OCCAOAC∠，30CAO∠··················3分（2）如图，连接OB，过点D作DEx轴于点E···············4分OD为B的切线，OBOD，90BOD∠·······················5分ABOB，30AOBOAB∠∠，3090120AODAOBBOD∠∠∠，在AOD△中，1801203030ODAOAD∠∠3ODOA·····························6分在RtDOE△中，18012060DOE∠13cos6022OEODOD，3sin602EDOD点D的坐标为3322，··························7分设过D点的反比例函数的表达式为kyxABCDEOyx——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水3333224k······················