数字滤波器设计方法的选择及s平面到z平面映射(离散化)方法的比较

文献综述题目数字滤波器设计方法的选择及S-Z离散化方法的比较学生姓名专业班级电子信息工程学号院（系）指导教师完成时间数字滤波器设计方法的选择及S-Z离散化方法的比较1数字滤波器设计方法的选择及S-Z离散化方法的比较1引言在毕业论文的设计过程中，针对我的课题研究，我发现，现阶段好多学生在数字信号处理方面，关于滤波器设计方法的选择和离散化方法存在训多不理解，为此，在主要参考了《数字信号处理教程（第二版）》、《数字信号处理教程——MATLAB释义与实现（第2版）》和《数字滤波器设计及工程应用》后，针对这一问题，我进行了一下总结，写出该文献综述，希望对学习数字信号处理的学生们有所帮助。该综述主要讲述了常见模拟原型滤波器的设计、模拟域和数字域的映射方法和模拟域和数字域的频带变换法，着重对滤波器设计方法的选择作了分析，并且比较了模拟域和数字域的映射方法即S-Z离散化。2正文滤波器可广义的理解为一个信号选择系统，它让某些信号成分通过又阻止或衰减另一些成分。在更多的情况下，滤波器可理解为选频系统，如低通、高通、带通、带阻。当然我们无法做到理想情况下的低通、高通、带通、带阻，这样对于设计滤波器我们边有一个设计目标或者说设计指标。以低通滤波器为例，数字滤波器可以用差分方程、单位取样响应、以及系统函数等表示。2.1数字滤波器的性能指标在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。以低通滤波器特性为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围。在通带内：1()1jpcAHe在阻带中：jststcHeA其中c为通带截止频率,st为阻带截止频率，pA为通带误差,stA为阻带误差。数字滤波器设计方法的选择及S-Z离散化方法的比较2图2-1低通滤波器频率响应幅度特性与模拟滤波器类似，数字滤波器按频率特性划分为低通、高通、带通、带阻、全通等类型，由于数字滤波器的频率响应是周期性的，周期为2。各种理想数字滤波器的幅度频率响应如图2-2所示：图2-2各种理想数字滤波器的幅度频率响应2.2数字滤波器设计的基本步骤不论是IIR滤波器还是FIR滤波器的设计都包括三个步骤：(1)按照实际任务的要求，确定滤波器的性能指标。(2)确定了技术指标后，用一个因果、稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能指标。(3)性能分析和计算机仿真。通过以上三步，利用有限精度算法实现系统函数，根据这个描述就可以分析数字滤波器设计方法的选择及S-Z离散化方法的比较3其频率特性和相位特性，以验证设计结果是否满足指标要求；或者利用计算机仿真实现设计的滤波器，再分析滤波结果来判断。2.3IIR数字滤波器的设计原理IIR数字滤波器设计最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。IIR数字滤波器可用一个n阶差分方程：01()()()MNkkkkynbxnkaynk（2-1）或系统函数：01()()()1MkkkNkkkbzYzHzXzaz（2-2）来表示。对照模拟滤波器的传递函数：1111...()...mmmmnnnnbsbsHsasas（2-3）可以看出，数字滤波器和模拟滤波器的设计思路相仿，其实质也是寻找一组系数,ba，去逼近所要求的频率响应，使其在性能上满足预定的技术要求；不同的是模拟滤波器的设计是在S平面上用数学逼近法去寻找近似的所需特性()Hs，而数字滤波器则是在Z平面寻找合适的()Hz。数字滤波器设计的关键是将模拟低通滤波器()Hs转换成数字低通滤波器()Hz，即利用映射将模拟滤波器离散化。IIR数字滤波器的设计步骤是：(1)按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标；(2)根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器()Hs；(3)在按一定规则将()Hs转换为()Hz。若所设计的是高通、带通或者带阻滤波器，那么还有步骤：（4）将高通、带通或者带阻数字滤波器的技术指标先转化为低通滤波器的技术指标，然后按上述步骤(2)设计出模拟低通滤波器()Hs，再由冲击响应不变法或数字滤波器设计方法的选择及S-Z离散化方法的比较4双线性变换将()Hs转换为所需的()Hz。其步骤框图如图（2-3）：数字滤波器参数模拟滤波器参数相应模拟滤波器的设计数字滤波器butterworthchebyshev双线性变换法SZ冲激响应不变法双线性变换法冲激响应不变法ZS图2-3数字滤波器设计步骤2.3.1巴特沃斯模拟低通滤波器巴特沃斯滤波器（Butterworth）的逼近又称最平幅度逼近，其特点是具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f的单调递增，幅频特性单调递减。其幅度平方函数为：222211()()1(/)1(/)NNccHHjjj(2-4)N为正整数，代表滤波器的阶次，如图2-4所示：图2-4巴特沃斯滤波器振幅平方特性图2-4中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。不管N为多少，所有的特性曲线都通过3dB点，或说衰减3dB，这就是3dB不变性。幅度平方函数的极点分布：22/1()()()1(/())NsjcHjHsHssj（2-5）可见，Butterworth滤波器的幅度平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在cs的圆周上。低通滤波器的系统函数是由S平面左半部分的极点(3ps，4ps，5ps)组成的，它们分别为：数字滤波器设计方法的选择及S-Z离散化方法的比较52233345,,jjpcpcpcsesse（2-6）系统函数为：3345()()()()cpppHsssssss(2-7)令1c，得到归一化方程，去归一化的系统函数为：321()(/)2()2(/)1cccHssss(2-8)2.3.2切比雪夫模拟低通滤波器针对巴特沃斯低通滤波器的幅频特性随的增加而单调下降，当N较小时，阻带幅频特性下降较慢，要想使其幅频特性接近理想低通滤波器，就必须增加滤波器的阶数，这就将导致模拟滤波器使用的原件增多，线路趋于复杂，切比雪夫（chebyshev）滤波器的阻带衰减特性则有所改善。巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率c处，幅度下降很多，需要的阶次N很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的2()Hj。切比雪夫滤波器的2()Hj在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。切比雪夫滤波器的幅度平方函数为：22221()()1()NcHHjC(2-9)切比雪夫滤波器的幅度响应为：221()1()NcHjC（2-10）当0，N为偶数时，021()1Hj；N为奇数时，0()1Hj。数字滤波器设计方法的选择及S-Z离散化方法的比较6图2-5切比雪夫滤波器的振幅平方特性设计切比雪夫模拟低通滤波器，一般是给定通带截止频率，阻带起始截止频率st，通带最大衰减1（分贝），阻带最小衰减2（分贝），求()Hs。设计过程为：1、求。2、求滤波器阶数N。3、求滤波器系统函数()Hs。由于已经知道N、c、，故可求出()Hs。2.3.3离散化方法SZ的离散化方法即模拟域和数字域的映射方法有：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法等，本节是在已知模拟滤波器系统函数()aHs的条件下，介绍由()aHs变换成相应数字滤波器的系统函数()Hz的两种方法。1、冲激不变响应法冲激不变响应法是使数字滤波器的单位冲激响应序列()hn模仿模拟滤波器的单位冲激响应()aht。将模拟滤波器的单位冲激响应加以等间隔抽样，使()hn正好等于()aht的抽样值，即()()ahnhnT（2-11）其中T是抽样周期。令()aHs是()aht的拉普拉斯变换，()Hz为()hn的Z变换，利用抽样序列的Z变数字滤波器设计方法的选择及S-Z离散化方法的比较7换与模拟信号的拉普拉斯变换关系，得：12()()sTazekHzHsjkTT（2-13）则可看出，冲激响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的Z平面，这个从Z到S的变换正是拉普拉斯变换。数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为12()()jakHeHjkTT（2-14）但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。优缺点：冲激响应不变法使得数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系。但是，因为有频率响应混叠效应，所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器。2、双线性变换法冲激响应不变法和阶跃响应不变法从S平面到Z平面的多值映射关系，造成了混频响应的混叠失真，为了克服这一缺点，我们采用双线性变换法。双线性变换法为了克服多值映射这一缺点，首先把整个S平面压缩变换到某一中介的1S平面的一条横带(宽度为2/T,即从/T到/T),然后再利用1sTze的关系把1S平面上的这条横带变换到整个Z平面，这样就使S平面与Z平面是一一对应关系,消除了多值变换性,也就消除了频谱混叠现象。将S平面整个j轴压缩变换到1S平面1j轴上的/T到/T一段，解析到整个S平面和1S平面，再将1S平面通过以下标准变换关系映射到Z平面，从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：1111zscz（2-15）cszcs（2-16）这就是S平面与Z平面间的单值映射关系，这种变换就称为双线性变换。数字滤波器设计方法的选择及S-Z离散化方法的比较8双线性变换的最大优点就是避免了频率响应的混叠现象。但是，它又产生了新的问题，除了在零频率附近，角频率和数字频率的变换关系接近于线性关系外，当增加时，变换关系就是非线性的了，也就是角频率和数字频率之间存在着严重的非线性关系。2.4FIR数字滤波器的设计原理IIR滤波器的优点是可利用模拟滤波器设计的结果，缺点是相位是非线性的，FIR滤波器的优点是可方便地实现线性相位。设FIR滤波器的单位冲激响应()hn为有限长的(01)nN,系统函数为：10()()NnnHzhnz(2-17)在有限Z平面内有1N阶极点，在原点0z处，有1N个零点位于有限Z平面的任何位置。如果FIR滤波器的单位抽样响应hn在对称中心在/2n＝(N-1)处，则这种FIR滤波器就具有严格线性相位。2.4.1窗函数设计法先给定所要求的理想滤波器频率响应()jdHe，由()jdHe的傅里叶反变换导出()dhn，理想滤波器的冲击响应()dhn是无限长的非因果序列，而我们要设计的()dhn是有限长的FIR滤波器，所以要用有限长序列()dhn来逼近无限长序列()dhn。窗函数就是矩形序列()()NnRn,加窗后根据频域卷积定理可得：()1()()()2jjjdRHeHeWed(4-13)通过频域卷积过程()jwHe的幅度函数H的起伏现象,可知,加窗处理后，对理想矩形的频率响应产生以下几点影响：(1)使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，其宽度等于窗的频率响应的主瓣宽度。(2)在截止频率的两边的地方即过渡带的两边，出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡。(3)改变N，只能改变窗谱的主瓣宽度，改变的坐标比例以及改变的绝对值数字滤波器设计方法的选择及S-Z离散化方法的比较9大小，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例(此比例由窗函数的形状决定)。2.4.2频率采样法窗函数设计法是从时域出发，把理想的dhn用一定形状的窗函数截取成有限长的hn，来近似理想的dhn，这样得到的频率响应()jwHe逼近于所要求的理想的频率响应()jwdHe。频率抽样法则是从频域出发，把给定的理想频率响应()jwdHe加以等间隔抽样得到()dHk，然后以此()dHk作为实际FIR滤波器的频率特性的抽样值()Hk。知道(