极化恒等式(教师)

1极化恒等式（教师版）.两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,bADaAB证明：不妨设，，则baDBbaAC222222CCbbaabaAA（1）222222bbaabaDBDB（2）（1）（2）两式相加得：22222222CADABbaDBA结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ba＝2241baba————极化恒等式对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41.即：2241DBACba（平行四边形模式）思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？因为AMAC2，所以2241DBAMba（三角形模式）M图12例1.(2012年浙江文15)在ABC中，M是BC的中点，3,10AMBC，则ABAC____.解：因为M是BC的中点，由极化恒等式得：2241BCAMACAB=9-10041=-16【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。目标检测.______1)132012(的值为边上的动点，则是点，的边长为已知正方形改编北京文DADEABEABCD.________OO2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PBPAPABC解：取AB的中点D，连结CD,因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且22ODOC，所以3CD，32AB（也可用正弦定理求AB）又由极化恒等式得：341222PDABPDPBPA因为P在圆O上，所以当P在点C处时，3||maxPD当P在CO的延长线与圆O的交点处时，1||minPD1.掌握用极化恒等式求数量积的值ABCM2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围3所以]6,2[PBPA【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。目标检测8.6.3.2.)(134)112010(22DCBAFPOPPyxFO　　　　　　　　　　的最大值为则为椭圆上的任意一点，的中心和左焦点，点分别为椭圆和点若点福建文例3.（2013浙江理7）在ABC中,0P是边AB上一定点，满足014PBAB，且对于边AB上任一点P，恒有00PBPCPBPC。则()A.90ABCB.90BACC.ABACD.ACBC目标检测22.2.2.1.)(,0)()(2,)92008(DCBAccbcacba　　　　　　　　的最大值是则满足，若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知浙江理3：会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题45