数字滤波器设计步骤

数字信号处理数字滤波器的设计学院计算机与电子信息学院专业电子信息科学与技术班级电子15-2班姓名学号15034520210指导教师刘利民数字滤波器的设计一、模拟低通滤波器的设计方法1、Butterworth滤波器设计步骤：⑴.确定阶次N①已知Ωc、Ωs和As求ButterworthDF阶数N由：求出N：②已知Ωc、Ωs和Ω=Ωp()的衰减Ap求ButterworthDF阶数N③已知Ωp、Ωs和Ω=Ωp的衰减Ap和As求ButterworthDF阶数N由⑵.用阶次N确定22110lg()10lg1(/)NscAHjsas/10lg(101)2lg(/)sscAN3dBp/10lg(101)2lg(/)pApNNc得到：22110lg()10lg1(/)NpcAHjpap/10/1022(/)101,(/)101psAANNpcsc则：/10/10lg[(101)(101)]2l(/):gsPAApsNN求出()aHs根据公式：在左半平面的极点即为的极点，因而，2、切比雪夫低通滤波器设计步骤：⑴.确定技术指标归一化：⑵.根据技术指标求出滤波器阶数N及：其中⑶.求出归一化系统函数其中极点由下式求出：2s2=1121[]2221|(|=()(),01(/)(1)(),1,2,2aaaNcjkjNNkccHjHsHssjsjekN）令分母，得()()aaHsHs()aHs1()()NcsNkkHsss121[]22kjNkcse1,2,,kNppss/1ppp/ssp1111()schkNch0.1110.1101101spk0.12101p11/(21)(21)sin[]cos[]221()2()()()piaNNiiaapskkpshjchNNHpppHsHp或者由和S直接查表得⑷.去归一化：二、数字低通滤波器的设计步骤：1、确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带最大衰减系数p、阻带截止频率、阻带最小衰减系数s。2、将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。巴特沃斯：切比雪夫：其中3、把模拟滤波器变换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系数)(SH映射成数字滤波器的系统函数)(zH。实现系统传递函数s域至z域映射有脉冲响应不变法和双线性映射两种方法。（1）脉冲响应不变法。N()aHp()aaapsHsHpH（）=/10lg(101)2lg(/)pApNNc得到：1()()NcsNkkHsss/ssp0.12101p1111()schkNch0.1110.1101101spk()aaapsHsHpH（）=按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数sHa转换成数字低通滤波器的系统函数H(z)。设模拟滤波器的传输函数为sHa，相应的单位冲激响应是tha，sHa=LT[tha]，LT[.]代表拉氏变换，对tha进行等间隔采样，采样间隔为T，得到nTha，将h(n)=nTha作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的系统函数H(z)便是h(n)的Z变换。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，它是h(n)在采样点上等于tha。设模拟滤波器sHa只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将sHa用部分分式表示：NiiiassAsH1，式中is为sHa的单阶极点。将sHa逆拉氏变换得到tha：)(1tueAthtsNiiai，式中u(t)是单位阶跃函数。对tha进行等间隔采样，采样间隔为T,得到：)()(1nTueAnThnhnTsNiiai对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：NiTsizeAzHi111，经过一系列变换得到：)(1)(skaezjksHTzHsT（2）双线性变换法这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到±π/T之间，再用sTez转换到z平面上。设Ha（s），s=jΩ，经过非线性频率压缩后用Ha（s1），1s=jΩ1表示，这里用正切变换实现频率压缩：TT15.0tan2式中T仍是采样间隔，当Ω1从-π/T经过0变化到π/T时，Ω则由-∞经过0变化到+∞，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到1s平面上虚轴的±π/T之间的转换。这样便有tsTszzTTthTs111125.021再通过sTez转换到z平面上，得到：11112zzTssTsTz22令jezjs,，有jjeeTj11221tan2T两种方法比较：脉冲响应不变法的优点：1，模拟频率到数字频率的转换时线性的；2，数字滤波器单位脉冲响应的数字表示近似原型的模拟滤波器单位脉冲响应，因此时域特性逼近好。缺点：会产生频谱混叠现象，只适合带限滤波器双线性变换法优点：克服多值映射得关系，可以消除频率的混叠缺点：时域到频域的变换是非线性的，在高频处有较大的失真。三、数字高通滤波器的设计步骤：①数字高通滤波器的技术指标为：通带截止频率ωp阻带截止频率ωs通带衰减频率αP阻带衰减频率αs2/ppswfF2/ssswfF②预畸变处理，将数字高通指标转换为模拟低通指标2cot()2sswT2cot()2ppwT④确定阶数N由1010lg((101)(101))2lg()atspN（可由模拟低通滤波器设计方法可得）④归一化及去归一化查表令s=s/Ω归一化模拟低通圆型系统函数G(P)=1P2+√2P+1⑤低通向高通转化令s1=1/s由频率变换公式Ha(s)=G(𝜌)|𝑝=𝑥𝑃𝛺𝑃ℎ𝑆即可得⑥滤波器数字化令1-1-z-1z12sT利用双线性变换化H(z)=Ha(s)|𝑠=1−𝑍−11+𝑍−1带入数据可得数字高通H(z)数字高通不能采用脉冲响应不变法原因是：脉冲响应不变法有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。四、数字带通滤波器的设计：步骤：（1）确定性能指标:在设计带通滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标:通带截止频率wc1,wc2、阻带截止频率wr1，wr2、阻带最小衰减αs通带最大衰减αp(2)对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变Ω=2T∗tan(w2)()aHs得到带通模拟滤波器H(s)的边界频率主要是通带截止频率ωp1,ωp2;阻带截止频率ωs1，ωs2的转换。对双线性变换法一般T=2s通带截止频率wc1=(2/T)*tan(wp1/2)、wc2=(2/T)*tan(wp2/2)阻带截止频率wr1=(2/T)*tan(ws1/2)、wr2=(2/T)*tan(ws2/2)阻带最小衰减αs通带最大衰减αp(3)低通到带通频率变换λ=((Ω2)−(Ω02)B∗Ω)将模拟带通滤波器指标转换为模拟低通滤波器指标。B=wc2-wc1normwr1=(((wr1^2)-(w0^2))/(B*wr1))normwr2=(((wr2^2)-(w0^2))/(B*wr2))normwc1=(((wc1^2)-(w0^2))/(B*wc1))normwc2=(((wc2^2)-(w0^2))/(B*wc2))模拟低通滤波器指标：normwc，normwr，αp，αs(4)设计模拟低通原型滤波器。查表得到归一化低通传输函数G(p)：G(P)=1P2+√2P+1用模拟低通滤波器设计方法（由巴特沃斯设计步骤或切比雪夫设计步骤）得到模拟低通滤波器的传输函数Ha(s)(5)模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器。)(202)()(lusspapGsH(6)利用双线性变换法将模拟带通滤波器Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)由1-1-z-1z12sT11112202)(zzslussp得到H(z)=Ha(s)|𝑠=1−𝑍−11+𝑍−1也可以用脉冲响应不变法：)(1)(skaezjksHTzHsT两种方法比较比较：脉冲响应不变法数字滤波器单位脉冲响应的数字表示近似原型的模拟滤波器单位脉冲响应，因此时域特性逼近好。但会产生频谱混叠现象，只适合带限滤波器双线性变换法可以克服多值映射得关系，可以消除频率的混叠但时域到频域的变换是非线性的，在高频处有较大的失真。五、数字带阻滤波器的设计：步骤：（1）确定性能指标:通带截止频率wc1,wc2、阻带截止频率wr1，wr2、阻带最小衰减αs通带最大衰减αp(2)对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变Ω=2T∗tan(w2)主要是通带截止频率ωp1,ωp2;阻带截止频率ωs1，ωs2的转换。对双线性变换法一般T=2s通带截止频率wc1=(2/T)*tan(wp1/2)、wc2=(2/T)*tan(wp2/2)阻带截止频率wr1=(2/T)*tan(ws1/2)、wr2=(2/T)*tan(ws2/2)阻带最小衰减αs通带最大衰减αp（由模拟低通滤波器设计方法可得）模拟低通滤波器确定模拟带阻滤波器由模拟低通到模拟带阻的变换这一模拟低通到带阻的变换关系为s=Ω02PP2+Ω02式中s为模拟低通原型拉普拉斯变量(s=σ+jΩ)，𝑝为模拟带阻的拉普拉斯变量(𝑝=σ+jΩ)，Ω0是模拟带阻滤波器的几何中心频率。令𝑝=jΩ可得S=jΩ02ΩΩ02−Ω2故𝑝平面的虚轴与s平面的虚轴相对应，代入s=jΩ，消去j，可得Ω=n02ΩΩ02−Ω2低通的阻带映像到带阻的阻带ΩC=Ω02Ω1Ω02−Ω12()aHs−ΩC=Ω02Ω2Ω02−Ω22化简得到：Ω0=Ω1Ω2̅̅̅̅̅̅̅=Ω2−Ω1=Ω1Ω3ΩC在H𝐿𝑃(𝑠)中的变换关系，可得到带阻滤波器系统函数𝐻𝐵𝑅p=𝐻𝐿𝑃𝑠|𝑆=𝛺02𝑝(𝑝2+𝛺02)⁄由模拟带阻到数字带阻的变换仍利用双线性变换P=C1+z−1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅1−z−1模拟低通原型滤波器的𝑠平面变换成数字带阻滤波器的𝑧平面的表达式可得S=D1(1−𝑍−1)1−𝐸1𝑍−1+𝑍−2从模拟低通系统函数H𝐿𝑃(𝑠)，转换数字带阻系统函数HBRp=HLPs|S=D1(1−𝑍−1)1−𝐸1𝑍−1+𝑍−2数字带阻滤波器不能用脉冲响应不变法：原因是脉冲响应不变法有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。