二、同方向不同频率两个简谐振动的合成剖析

二、同方向不同频率两个简谐振动的合成一、同方向同频率两个简谐振动的合成三、个互相垂直同频率简谐振动的合成研究方法：采用振动描述的三种方法来分析简谐振动的合成。本讲主要内容：五、谐振分析和频谱四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成2021012021010coscossinsinAAAAtg)cos(1011tAx)cos(2022tAx21xxx)cos(0tAx)cos(21020212221AAAAA同方向同频率两个简谐振动的合成仍为简谐振动。x20x0x10x02010P.AotM2A1AA2A1A一、同方向同频率两个简谐振动的合成讨论两个特例(1)两个振动同相,21020k,...2,1,0k)cos(21020212221AAAAA由212122212AAAAAAA)cos(21020212221AAAAA由(2)两个振动反相212122212AAAAAAA,)12(1020k,...2,1,ok如果21AA则A=0to2TT23T2Tx2x1x合成振动xto2TT23T2T合成振动一般情况为其他任意值，则：)(2121AAAAA上述结果说明两个振动的相位差对合振动起着重要作用。合成振动t2TT23T2TxoOA例:两个沿同一直线且具有相同振幅和周期的谐振动合成后，产生一个具有相同振幅的谐振动，求原来两个振动的相位差。解：21AAAAAA2132121A2A例:N个同方向，同频率的谐振动，若它们相位依次为，2，…,试求它们的合振幅;并证明当N=2k时的合振幅为零。A合XOBCA0解：合振幅A2sin2NRA由OPa可看出2sin20RA2sin2sin0NAA当N=2k时的合振幅为零。请记住这个结论！请大家自行练习！NQRPab/2A------仍为简谐振动x12A1A2若1=2,则不变；若12,则变；------为一复杂运动同方向同频率两个简谐振动的合成二.同方向不同频率两个简谐振动的合成同方向不同频率两个简谐振动的合成tA2cos212t2cos2121xxxtAx11costAx22cos设两振动振幅相同，并以它们的初相位都为零时为计时起点位移xto2TT23T2T分振动1分振动2合振动122为一复杂振动和频差频振幅周期性变化toxx1x2着重研究21,相近情况——拍现象（Beat)即1-21or2xtA2cos212t2cos2121xxx振幅随时间的变化非常缓慢振幅调制因子Amplitudemodulationfactor应用cooledit来合成两频率相近的简谐振动问题：两个拍现象中那个的差频大？声音强弱的变化快声音强弱的变化慢6秒中变化了6次，有6拍6秒中变化了3次，有3拍tA2cos212xtA2cos212t2cos21振幅变化缓慢振幅变化缓慢一个拍|2|12一个强弱变化所需的时间toxx1x221xxx合振幅变化的频率即拍频|||2|1212拍手风琴的中音簧：键盘式手风琴（Accordion)的两排中音簧的频率大概相差6到8个赫兹，其作用就是产生“拍”频。而俄罗斯的“巴扬”---纽扣式手风琴则是单簧片的，因此没有拍频造成的颤音效果。利用拍频测速从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效应要发生微小的变化，通过测量反射波与入射波所形成的拍频，可以算出物体的运动速度。这种方法广泛应用于对卫星、各种交通工具的雷达测速装置中。拍现象是一种很重要的物理现象。)cos(1011tAx)cos(2022tAy)(sin)cos(210202102021222212AAxyAyAx消去得到轨道方程t（椭圆方程）10200102021AAyx21AAyxyx质点的轨迹曲线仍为谐振动，但是振动方向改变了！三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成12A22Ayx210201222212AyAx21AA轨迹为圆注意！提问：若y方向振动落后x方向，则结果如何？两个互相垂直不同振幅同频率简谐振动的合成2230102012A22A2443454749与合成相反：一个圆运动或椭圆运动可分解为相互垂直的两个简谐振动。四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成如果两个相互垂直的振动的频率不相同，它们的合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。下面只讨论简单的情形。两振动的频率只有很小的差异则可以近似地看做同频率的合成，不过相差在缓慢地变化，因此合成运动轨迹将要不断地按上图所示的次序，在图示的矩形范围内自直线变成椭圆再变成直线等等。如果已知一个振动的周期，就可以根据李萨如图形求出另一个振动的周期，这是一种比较方便也是比较常用的测定频率的方法。则合成运动又具有稳定的封闭的运动轨迹。这种图称为李萨如图。如果两振动的频率相差较大，但有简单的整数比为合振幅随时间作缓慢变化的准简谐振动（拍）两个同方向频率相近的简谐振动的合成总结：合振幅变化的频率即拍频||12拍两个同方向频率相同的简谐振动的合成仍为简谐振动。合振幅与两振动的相位差有关，可用旋转矢量图求得。两个振动方向垂直频率相同的简谐振动的合成可能仍为直线振动（而且是谐振动）也可能是圆运动，和椭圆运动。课后实验：1.请你测量一根吉他琴弦的振动频率。2.敲击盛水的玻璃酒杯能产生清晰的音调.试用音叉把这些音调校准到你所需要的频率看看是否能把他们排列起来构成一个八度音阶。