初一几何——三角形内外角平分线模型

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第1页(共15页)初一几何——双角平分线模型1.在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,∠1+∠2=50°,则∠A的度数为()A.80度B.50度C.100度D.110度2.如图,△ABC中,∠A=50°,D是BC延长线上一点,∠ABC和∠ACD的平分线交于点E,则∠E的度数为()A.40°B.20°C.25°D.30°第1题图第2题图第3题图第4题图3.如图在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于O,CE为外角∠ACD的平分线,BO的延长线交CE于点E,记∠BAC=∠1,∠BEC=∠2,则以下结论①∠1=2∠2,②∠BOC=3∠2,③∠BOC=90°+∠1,④∠BOC=90°+∠2正确的是()A.①②③B.①③④C.①④D.①②④4.如图,∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P,若∠A=60°,∠D=20°,则∠P的度数为()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,得∠A2;……;∠A2017BC与∠A2017CD的平分线相交于点A2018,得∠A2018.如果∠A=80°,则∠A2018的度数是()A.80B.802018C.40D.80×(12)20186.已知△ABC,下列说法正确的是(只填序号).①如图(1),若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点,则∠P=90°+12∠A;②如图(2),若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点,则∠P=90°−12∠A;③如图(3),若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点,则∠P=12∠A.7.已知:如图,O是△ABC内一点,且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB,若∠A=46°,求∠BOC=.第7题图第8题图第9题图8.如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠ACD=76°,BE平分∠ABC,CE平分△ABC的外角∠ACD,则∠E=.9.如图,△ABC中,∠C=104°,BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F,则∠F=.第2页(共15页)10.如图,在△ABC中,∠B=90°,∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H,求∠H的度数.11.如图①,∠ACD是△ABC的外角,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且BE、CE交于点E.(1)如果∠A=60°,∠ABC=50°,求∠E的度数;(2)猜想:∠E与∠A有什么数量关系;(写出结论即可)(3)如图②,点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点,探索∠E与∠A之间的数量关系,并说明理由.12.甲乙两同学对同一个图形进行研究,如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=.(说明:本题中角的大小均可用á表示);(1)甲同学不断调整图中射线BO、CO的位置,如图②,∠CBO=13∠ABC,∠BCO=13∠ACB,∠A=α,则∠BOC=,并请你帮他说明理由.(2)由(1)方法,甲同学猜想:如图③,当∠CBO=1𝑛∠ABC,∠BCO=1𝑛∠ACB,∠A=α,∠BOC=(3)乙两同学的探究思路是把三角形不断变化为四边形、五边形、六边形…,探究角平分线组成的∠O与多边形其他角的关系.如图④,在四边形ABCD中,BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD,试探究∠O与∠A、∠D的数量关系,并说明理由.(4)仿照(3)的方法,如图⑤,在六边形ABCDEF中,BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD,请直接写出∠O与∠A、∠D、∠E、∠F的数量关系:.第3页(共15页)13.(1)如图1,已知△ABC,BF平分外角∠CBP,CF平分外角∠BCQ.试确定∠A和∠F的数量关系;(2)如图2,已知△ABC,BF和BD三等分外角∠CBP,CF和CE三等分外角∠BCQ.试确定∠A和∠F的数量关系;(3)如图3,已知△ABC,BF、BD和BM四等分外角∠CBP,CF、CE和CN四等分外角∠BCQ.试确定∠A和∠F的数量关系;(4)如图4,已知△ABC,将外角∠CBP进行n等分,BF是临近BC边的等分线,将外角∠BCQ进行n等分,CF是临近BC边的等分线,试确定∠A和∠F的数量关系.14.(1)如图1,O是△ABC内一点,且BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB、若∠A=46°,则∠BOC=;若∠A=n°,则∠BOC=;(2)如图2,O是△ABC外一点,BO,CO分别平分△ABC的外角∠CBE,∠BCF.若∠A=n°,求∠BOC;(3)如图3,O是△ABC外一点,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACD.若∠A=n°,求∠BOC.第4页(共15页)第5页(共15页)初一几何——双角平分线模型参考答案与试题解析一.选择题(共5小题)1.在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,∠1+∠2=50°,则∠A的度数为()A.80度B.50度C.100度D.110度【解答】解:∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,∠1+∠2=50°,∴∠ABC=2∠1,∠ACB=2∠2,∴∠ABC+∠ACB=2(∠1+∠2)=100°,∵△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠A=180°﹣100°=80°.故选:A.2.如图,△ABC中,∠A=50°,D是BC延长线上一点,∠ABC和∠ACD的平分线交于点E,则∠E的度数为()A.40°B.20°C.25°D.30°【解答】解:∵由三角形的外角的性质可知,∠E=∠ECD﹣∠EBD,∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E,∴∠EBC=12∠ABC,∠ECD=12∠ACD,∵∠ACD﹣∠ABC=∠A=50°,∴12(∠ACD﹣∠ABC)=25°,∴∠E=∠ECD﹣∠EBD=25°,故选:C.3.如图在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于O,CE为外角∠ACD的平分线,BO的延长线交CE于点E,记∠BAC=∠1,∠BEC=∠2,则以下结论①∠1=2∠2,②∠BOC=3∠2,③∠BOC=90°+∠1,④∠BOC=90°+∠2正确的是()第6页(共15页)A.①②③B.①③④C.①④D.①②④【解答】解:∵CE为外角∠ACD的平分线,BE平分∠ABC,∴∠DCE=12∠ACD,∠DBE=12∠ABC,又∵∠DCE是△BCE的外角,∴∠2=∠DCE﹣∠DBE,=12(∠ACD﹣∠ABC)=12∠1,故①正确;∵BO,CO分别平分∠ABC,∴∠OBC=12ABC,∠OCB=12∠ACB,∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=180°−12(∠ABC+∠ACB)=180°−12(180°﹣∠1)=90°+12∠1,故②、③错误;∵OC平分∠ACB,CE平分∠ACD,∴∠ACO=12∠ACB,∠ACE=12ACD,∴∠OCE=12(∠ACB+∠ACD)=12×180°=90°,∵∠BOC是△COE的外角,∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2,故④正确;故选:C.4.如图,∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P,若∠A=60°,∠D=20°,则∠P的度数为()第7页(共15页)A.15°B.20°C.25°D.30°【解答】解:延长AC交BD于点E,设∠ABP=α,∵BP平分∠ABD,∴∠ABE=2α,∴∠AED=∠ABE+∠A=2α+60°,∴∠ACD=∠AED+∠D=2α+80°,∵CP平分∠ACD,∴∠ACP=12∠ACD=α+40°,∵∠AFP=∠ABP+∠A=α+60°,∠AFP=∠P+∠ACP∴α+60°=∠P+α+40°,∴∠P=20°,故选:B.5.如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,得∠A2;……;∠A2017BC与∠A2017CD的平分线相交于点A2018,得∠A2018.如果∠A=80°,则∠A2018的度数是()A.80B.802018C.40D.80×(12)2018【解答】解:∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1,∴∠A1BC=12∠ABC,∠A1CD=12∠ACD,由三角形的外角性质,∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1+∠A1BC,12(∠A+∠ABC)=∠A1+∠A1BC=∠A1+12∠ABC,整理得,∠A1=12∠A=12×80°=40°;同理可得∠An=(12)𝑛×80故选:D.二.填空题(共4小题)第8页(共15页)6.已知△ABC,下列说法正确的是①②③(只填序号).①如图(1),若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点,则∠P=90°+12∠A;②如图(2),若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点,则∠P=90°−12∠A;③如图(3),若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点,则∠P=12∠A.【解答】解:①正确.∵P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点,∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°﹣∠A)=90°−12∠A,∴∠P=180°−12(∠ABC+∠ACB)=180°﹣90°+12∠A=90°+12∠A;②正确.∵BP、CP为△ABC两外角的平分线,∴∠BCP=12∠BCE=12(∠A+∠ABC),∠PBC=12∠CBF=12(∠A+∠ACB),由三角形内角和定理得:∠BPC=180°﹣∠BCP﹣∠PBC=180°−12[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]=180°−12(∠A+180°)=90°−12∠A.③正确.∵BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是∠ACB的外角的平分线,∴∠PBC=12∠ABC,∠PCE=12∠ACE,∵∠ACE是△ABC的外角,∠PCE是△BPC的外角,∴∠ACE=∠ABC+∠A,∠PCE=∠PBC+∠P,∴12∠ACE=12∠ABC+12∠A,∴12∠ABC+12∠A=∠PBC+∠P,∠P=12∠A;故答案为①②③.7.已知:如图,O是△ABC内一点,且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB,若∠A=46°,求∠BOC=113°.第9页(共15页)【解答】解:∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12(∠ABC+∠ACB),∵∠A=46°,∴∠OBC+∠OCB=12(180°﹣46°)=67°,∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=180°﹣67°=113°.故答案为:113°.8.如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠ACD=76°,BE平分∠ABC,CE平分△ABC的外角∠ACD,则∠E=18°.【解答】解:∵BE平分∠ABC,CE平分△ABC的外角∠ACD,∴∠EBC=12∠ABC=20°,∠ECD=12∠ACD=38°,∵∠ECD=∠EBC+∠E,∴∠E=38°﹣20°=18°,故答案为18°.9.如图,△ABC中,∠C=104°,BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F,则∠F=52°.【解答】解:∵BF平分∠ABC,AE平分∠DAB,∴∠ABF=12∠ABC,∠EAB=12∠DAB,∵∠DAB﹣∠ABC=∠C=104°,∴∠F=∠EAB﹣∠ABF=12(∠DAB﹣∠ABC)=52°,故答案为:52°.第10页(共15页)三.解答题(共5小题)10.如图,在△ABC中,∠B=90°,∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H,求∠H的度数.【解答】解:∵CH、AD分别为∠ACB、∠CAF的平分线,∴∠CAD=12∠CAF=∠H+12∠ACB(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),又∵∠CAF=∠B+∠ACB=90°+∠ACB(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),即12∠CAF−12∠ACB=45°,∴∠H=12∠CAF−12∠ACB=45°.11.如图①,∠ACD是△ABC的外角,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且BE、CE交于点E.(1)如果∠A=60°,∠ABC=50°,求∠E的度数;(2)猜想:∠E与∠A有什么数量关系;(写出结论即

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