自动控制原理-5-2频域性能指标

5.4频域稳定判据1频域稳定判据的定义：根据开环频率特性曲线判定闭环系统稳定性的准则。频域稳定判据的优点：u用实验法获得频率特性曲线即可使用判据u稍加推广后可用于某些非线性系统u可研究系统参数和结构改变对稳定性的影响常用判据：u奈奎斯特稳定判据(简称奈氏判据)u对数频率稳定判据则辅助函数F(s)定义为2)()()()()(sAsBsHsGsGkG(s)R(s)C(s)﹣+H(s)njjniipszssAsBsAsHsGsF11)()()()()()()(1)(F(s)具有如下特征：uF(s)的零点和极点分别是系统闭环和开环极点uA(s)的阶次一般大于B(s)，F(s)零点和极点数相同uF(s)和开环传递函数G(s)H(s)只相差常数1j0z1AF(s)ImRe0FF(A)3由于除了z1对应的一项为-2π，其余各项均为0，可得考虑此时F(s)相角的变化量：4njjmiipszsdssFsF11)()(即F(s)沿曲线F顺时针方向绕原点一圈。同理，若s围绕某个极点移动，则F逆时针绕原点一圈。若同时包围了多个零点和极点，则圈数互相抵消。2)(sF幅角原理：如果封闭曲线包围F(s)的Z个零点和P个极点，则s沿顺时针方向转一圈时，F(s)平面上的闭合曲线F绕原点转过的圈数为R=PZ。R0表示逆时针，R0表示顺时针。R=0说明F不包围原点（或圈数抵消）。s平面映射F(s)平面F正虚轴j(:0)F(j)(:0)负虚轴j(:0)F(j)(:0)半径的半圆(1,j0)点0js+5由于F(s)=1+G(s)H(s),可将曲线F向左平移一个单位长度得到奈氏曲线GH。F包围原点相当于GH包围(-1，j0)。故实际只需考虑奈氏曲线GH：G(j)(:0)，即开环极坐标图；G(j)(:0),为开环极坐标图关于轴的镜像；F(s)平面的(1,j0)点，平移后即坐标原点。6F01GH奈氏判据：若系统在s右半平面的开环极点数为P，开环奈氏曲线（:0）包围(1，j0)点的圈数为R（逆时针为正，顺时针为负），则系统在s右半平面的闭环极点数为Z，且有Z=PR若Z=0，闭环系统稳定，否则不稳定。7应用奈氏判据的几种常见情况：(1)开环系统稳定，开环奈氏曲线不包围(1，j0)点时，则闭环系统稳定(即P=R=0)。(2)当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线逆时针包围(1，j0)点P圈时，闭环系统稳定(即P=R0)。(3)若开环奈氏曲线穿过(1，j0)点，闭环系统可能临界稳定。例5-10判断系统稳定性。（2）P=0，R2ZPR20闭环系统不稳定。ReP=0ReIm0=0解：由图知（1）P=0且R=0闭环系统稳定。ReIm01P=0=08（3）P=0，R+11=0闭环系统稳定。ReIm01=0P=09试用奈氏判据判断系统的稳定性。1)(TsKsGkTjTKTjKjGk/11)(例5-11一单位反馈系统，其开环传函当=0，Gk(j0)=K180当，Gk(j)=090ReIm0=0K解：已知P=1频率特性10注意：P0为非最小相位系统，不可直接使用公式，可直接代入值求起点/终点当K1时，K1，R=1Z=PR=0∴闭环系统稳定。当K1，K1，R=0，Z=PR=1闭环系统不稳定。ReIm0=0K111这是一个半径为无穷大，从Gk(j0-)到Gk(j0+)顺时针旋转N•180°的大圆弧，称为增补线。0+（2）虚轴上有极点的系统先考虑极点在原点的情况：其中G0(s)为0型系统。j0封闭曲线不应通过任何零、极点。为此，可用一半径无穷小的半圆，在右侧绕过原点。012)()(0sGsKsGNk半圆轨迹：)90900(jes映射轨迹：jNNkeKsG)(je0js+ImRe0=0+增补线=0-)()(0sGsKsGk13对虚轴上有其他极点的系统，同理可作出增补线。将增补线作为奈氏曲线的一部分即可使用奈氏判据。用奈氏判据判断稳定性。解：1）从开环传递函数易知P=0。2）作开环极坐标图：起点：Gk(j0)=90终点：Gk(j)=0270与实轴交点：)1)(1()(21sTsTsKsGk例5-12已知系统的开环传函为]1)([))(1)()(1()(212212221TTjTTTTKjGk2121)Re(TTTKTx令虚部=0，得代入得2121TTx14系统的开环极坐标图如右图：R=2Z=PR=2∴闭环系统不稳定。12121TTTKT若ImRe0=0+2121TTTKT增补线1=0-R=0Z=PR=0∴闭环系统稳定。若2121TTTKT115(3)奈氏判据的实用形式由于极坐标图的对称性，实际只需绘制从0的开环极坐标图。若其包围(-1，j0)的圈数为R（逆时针为正，顺时针为负），系统在s右半平面上的开环极点个数为P，则根据公式Z=P2R即可确定在s右半平面上的闭环极点个数。若Z=0，闭环系统稳定，否则不稳定。如果开环传递函数包含N个积分环节，则应从=0+对应的点开始，补作一个半径为，逆时针方向旋转N90的大圆弧增补线(即0-到0+完整增补线的一半)，再使用奈氏判据。16重做例5-10判断系统稳定性。（2）P=0,R1ZP2R2闭环系统不稳定。ReP=0ReIm0=0解：由图知（1）P=0,R=0闭环系统稳定。ReIm01P=0=017（3）P=0,R0闭环系统稳定。ReIm01=0P=018圈数R的计算方法:(1)对完整极坐标图，直接观察；(2)对0极坐标图，观察Gk(j)+1的相角的变化量。例5-13已知系统的开环传函为)1()11.0()(sssKsGk起点：Gk(j0)=270终点：Gk(j)=090与坐标轴交点：x=101/2Re(x)=0.1K开环极坐标图见下页。0j-101用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数知P=1（2）作开环极坐标图19)arctan(901.0arctan)1()11.0()(jjjImRe0=0增补线10.1K(3)稳定性判别:I型系统，需作增补线如图。当0.1K1即K10时，R=1/2，Z=P2R=0闭环系统稳定；否则R=1/2，Z=2，系统不稳定。)1()11.0()(sssKsGk20圈数R的计算方法:(3)增大时,将幅相曲线自下向上(负穿越)和自上向下(正穿越)穿越实轴区间(，1)的次数分别记为N和N，则有R=NN开始或终止于实轴区间（，1）的穿越记为半次穿越（N或N=1/2），方向定义不变。21ReIm01(+)()R=11=0再次重做例5-10判断系统稳定性。（2）P=0N=0，N=1/2RNN=1/2ZP2R1闭环系统不稳定。ReP=0ReIm0=0（1）P=0N=N=0R=NN=0闭环系统稳定。ReIm01P=0=022()-180()/(°)0L()/dB()(+)伯德图上的穿越次数：(，1)区间:对应L()0的频率范围;穿越实轴：对应()曲线穿越1802k线，其中负穿越为相频往负方向移动（减小），正穿越为相频往正方向移动（增大）。同样有R=NN对数频率稳定判据：Z=P2R为0时，系统稳定，否则不稳定。23例5-14一反馈控制系统其开环传递函数)0()1()()(2TTssKsHsG解：绘制系统的开环对数频率特性曲线：L()/dB1/T40dB/dec60dB/dec180()/(°)0270用对数频率稳定判据判断系统稳定性。24易见N=0，N=1R=NN=1且P=0，故Z=P2R=2系统不稳定。系统积分环节数N=2，故增补线从180向上延伸至0：25180()/(°)0270增补线例5-15一反馈控制系统其开环传递函数)1()1()()(12sTssTKsHsG解：①由开环传递函数知P=1。②绘制系统的开环对数频率特性曲线。()=90+arctanT2(180arctanT1)（T1T2）当()=180时，x=(1/T1T2)1/2，A(x)=KT2③判断稳定性。G(s)H(s)的积分环节数N=1，故补画了270到180的增补线。用对数频率稳定判据判断系统稳定性。26212211)(arctan270TTTTL()/dB1/T140dB/dec180()/(°)02701/T220dB/dec20dB/dec90xc)1()1()()(12sTssTKsHsG（T1T2）27(1)当xc时，即A(x)1，N=1，N=1/2R=NN=1/2Z=P2R=0此时系统稳定。(2)当xc时，即A(x)1，N=0，N=1/2R=NN=1/2Z=P2R=2此时系统不稳定。28根据奈氏判据，系统开环幅相曲线在临界点(-1,0)附近的形状，对闭环稳定性影响很大。越接近临界点，相对稳定性越差。ReIm0-1ReIm0-15.5稳定裕度ReIm0-129（1）幅值裕度h：穿越频率（相角穿越频率）x对应的幅值A(x)的倒数，即也可用对数值表示：h(dB)=20lgh=20lgA(x)（2）相角裕度：截止频率（幅值穿越频率）c对应的相角(c)与180线的距离，即=180+(c)30稳定裕度：定量表示系统稳定程度的开环频域指标。)(1xAhReIm0-1A(x)h的含义：若闭环稳定系统的开环幅频特性增大h倍（上移h(dB)），则系统将处于临界稳定状态。的含义：若闭环稳定系统的开环相频特性滞后（减小）度，则系统将处于临界稳定状态。临界稳定状态：极坐标图经过临界点(-1,0)。c31极坐标图中的稳定裕度180()/(°)0L()/dBcxh(dB)32伯德图中的稳定裕度临界稳定状态：c=x0,h1：系统稳定=0,h=1：系统临界稳定0,h1：系统不稳定使用稳定裕度判断闭环系统的绝对稳定性：可见，及h越大，系统相对稳定性越好。对最小相位系统，通常只使用相角裕度。对非最小相位系统，不能使用此方法判断稳定性。L()/dB140dB/dec1020dB/dec60dB/dec3.16例5-16已知最小相位系统的开环对数幅频特性如图，试求其开环传递函数，并计算系统的稳定裕度。K=c=3.1634解：系统的开环传递函数为22)11.0()1()(sssKsG11)(,16.322ccccKAdB10lg20)1()16.3lg1(lg20)16.3()1(KLLL相频特性：()=arctan1802arctan0.1计算相角裕度：=180+(c)=arctan3.162arctan0.316=37.4计算穿越频率：(x)=180=arctanx1802arctan0.1xarctanx=2arctan0.1xx=8.940，故闭环系统稳定。3522)11.0()1(16.3)(ssssGdB03.91lg20)(lg20lg2022xxxKAh例5-17分析开环增益K对稳定裕度的影响。L()/d