一轮复习函数的最值与值域

§3.函数的最值与值域一、方法总结方法1：形如cxgbxgaxf)()()(2的二次型函数1.已知函数)21(24)1(21)(1xxaxfxxx的值域为]1,8[，则实数a的取值范围是________.方法2：)(xf是关于某一个整体的函数，或为无理函数.2.求函数xxxf142)(的值域.方法3：形如22221121)(cxbxacxbxaxf的函数.3.求函数6322)(2xxxxf的值域.方法4：对于分母的次数不超过分子的次数的分式函数.4.已知函数]21,0[,6131]1,21(,2237)(xxxxxxf，函数226sin)(axaxg)0(a，若]1,0[,21xx，使得)()(21xgxf成立，则实数a的取值范围是________.方法5：当)(xf的反函数容易求得时，通过求得其反函数的定义域来求其值域.5.函数23)(2xxxxf的值域为______.方法6：满足均值不等式条件（一正、二定、三相等）的函数.6.设Rx，求xxz2312的最大值.方法7：含有条件222anymx)0,(nm的函数7.已知实数yx,满足62322yx，求函数542),(yxyxf的最小值.方法8：解析式可化为2``12``1)(xxyyxf的形式的函数.8.求函数xxxfcos2sin)(的值域.方法九：对于有界函数.9.函数1sin32cos2)(xxxf的值域为________.方法10：对于严格单调函数.10.已知映射BAf:，其中RBA],1,0[，对应法则是xxxf31)2(log:21，对于实数Bk，在A中不存在原象，则k的取值范围是________.方法11：对于超越函数、高次函数.11.在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数)0()(xexfx的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，求t的最大值.二、综合应用12.已知函数xxexfx221)(.（1）求)(xf的最小值；（2）当01a时，若baxxxf221)(，求ba)1(的最大值.§3.函数的最值与值域一、方法总结方法1：配方法形如cxgbxgaxf)()()(2的二次型函数1.已知函数)21(24)1(21)(1xxaxfxx的值域为]1,8[，则实数a的取值范围是________.【解析】1.当21x时，xxxf24)(1)12(2x，因为4221x，所以值域为]1,8[.2.当1xa时，]2,21[21)(axxf.所以欲使)(xf的值域为]1,8[，只需]1,8[]2,21[a，即2218a，解之得13a，即)1,3[a.方法2：换元法)(xf是关于某一个整体的函数，或为无理函数.2.求函数xxxf142)(的值域.【解析】令tx1，则21tx)0(t.于是2422tty.再用配方法求其在),0[上的值域.方法3：判别式法形如22221121)(cxbxacxbxaxf的函数.3.求函数6322)(2xxxxf的值域.【解析】由63222xxxy，得0)26()13(22yxyyx.1.当0y时，则2x，在定义域内，有意义.2.当0y时.由0)26(24)13(2yyy，解出y的取值范围.综合两种情况，即可得所求的值域.方法4：分离常数法对于分母的次数不超过分子的次数的分式函数.4.已知函数]21,0[,6131]1,21(,2237)(xxxxxxf，函数226sin)(axaxg)0(a，若]1,0[,21xx，使得)()(21xgxf成立，则实数a的取值范围是________.【解析】当]1,21(x时，]1,61(1107212237)(xxxxf.当210x时，]61,0[6131)(xxf.所以)(xf的值域为]1,0[.由0a，得226sin)(axaxg在]1,0[上的值域为]232,22[aa.所以只需0232122aa，即]34,21[a.方法5：反函数法当)(xf的反函数容易求得时，通过求得其反函数的定义域来求其值域.5.函数23)(2xxxxf的值域为______.【解析】由232xxxy，得23)(22xxxy，解得3222yyx.所以23y，即值域为),23()23,(.方法6：均值不等式法满足均值不等式条件（一正、二定、三相等）的函数.6.设Rx，求xxz2312的最大值.【解析】因为230x，所以)23)(12(242xxz22231224xx8，当且仅当xx2312，即21x时82maxz.又因为0z，所以22maxz.方法7：三角代换法含有条件222anymx)0,(nm的函数7.已知实数yx,满足62322yx，求函数542),(yxyxf的最小值.【解析】由62322yx，得13222yx.令sin3,cos2yx)20(.则5sin34cos22)(g，化为简谐振动函数求最小值.方法8：斜率模型法（数形结合法）解析式可化为2``12``1)(xxyyxf的形式的函数.8.求函数xxxfcos2sin)(的值域.【解析】因为)2(cos0sincos2sin)(xxxxxf，所以)(xf为单位圆122yx圆上的点)sin,(cos与定点)0,2(的连线的斜率.数形结合，求出线圆相切时的斜率即为)(xf的最大值与最小值.方法九：有界性法对于有界函数.9.函数1sin32cos2)(xxxf的值域为________.【解析】由1sin32cos2xxy，得492)sin(2yyx.由14922yy即可解出值域.方法10：单调性法对于严格单调函数.10.已知映射BAf:，其中RBA],1,0[，对应法则是xxxf31)2(log:21，对于实数Bk，在A中不存在原象，则k的取值范围是________.【解析】对于实数Bk，在A中不存在原象，即k不在函数xxxf31)2(log)(21的值域内.而)(xf在]1,0[A上单调递增，所以)1()()0(fxff，即]31,2[)(xf，则),31()2,(k.方法11：导数法对于超越函数、高次函数.11.在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数)0()(xexfx的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，求t的最大值.【解析】设00(,),xPxe则00000:(),(0,(1))xxxlyeexxMxe，于是00000:(),(0,(1))xxxlyeexxMxe.过点P作l的垂线000000(),(0,)xxxxyeexxNexe，则000000(),(0,)xxxxyeexxNexe.于是00000000011[(1)]()22xxxxxxtxeexeexee00000000011[(1)]()22xxxxxxtxeexeexee.则t00'01()(1)2xxteex.令00'01()(1)2xxteex0，则10x.0x)1,0(1),1(t-t极大值所以max11()2tee.二、综合应用12.已知函数xxexfx221)(.（1）求)(xf的最小值；（2）当01a时，若baxxxf221)(，求ba)1(的最大值.【解析】1)(xexfx.令01)(xexfx，则0x为其一个根，又因为01)(xexfx递增，所以只有唯一根0x.x)0,(0),0()(xf-)(xf极小值所以1)0()(minfxf.（2）21()()(1)02xfxxaxbhxeaxbxaebx)1(.令xaexhx)1()(，则()(1)xhxea.①当10a时.()0()hxyhx在xR上单调递增，)(xh在),(没有最小值，舍去.②当10a时.令()(1)xhxea0，则)1ln(ax.当))1ln(,(ax时，0)(xh，则)(xh递减；当)),1(ln(ax时，0)(xh则)(xh递增.所以))1(ln()(minahxhmin()(1)(1)ln(1)0hxaaab.于是只需bmin()(1)(1)ln(1)0hxaaab，则)1ln()1()1()1(22aaaba.令)1ln()1()1()(22aaaaT，则)]1ln(21)[1()(aaaT.令0)]1ln(21)[1()(aaaT，则121eaor1a(舍去).所以)(aT在)1,1(21e递增，在),1(21e递减.所以2)1()(21maxeeTaT，即(1)ab的最大值为2e.