GM模型

1111140122经创1102董林威基于GM（1，1）模型的全国铁路货运量预测摘要：本文将灰色系统理论应用于全国铁路货运量预测，建立了全国铁路货运量的GM（1，1）模型，并通过残差检验、关联度检验和后验差检验等方法验证模型的可行性。该方法预测精度高、计算速度快，非常适用于全国铁路货运量预测。关键词：灰色预测；GM（1，1）；货运量一、引言铁路货运作为现代综合运输体系中的重要组成部分，在煤、电、油、粮食大宗货物运输等方面发挥着不可替代的作用，因而对国民经济的增长具有重大影响。铁路货运量是评估中国GDP增长量的重要指标之一，并与用电量、贷款发放量一起被用于分析宏观经济形势。这三大指标又称为“克强指数”。所以说对全国铁路货运量进行预测分析可以间接的对我国的宏观经济的走向进行分析和整体上认识预测。同时铁路运输是一个庞大复杂的运输系统，充满了很多确定性因素和不确定因素，利用灰色预测方法能够很好的对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，本文利用灰色预测理论建立GM（1，1）模型对全国铁路未来几年的货运量进行预测。二、建模实证分析1、灰色预测模型信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统成为灰色系统。灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知的“小样本、“贫信息不确定性系统，它通过对“部分已知信息的生产、开发实现对现实世界的确切描述和认识。灰色预测是基于GM模型作出的定量预测，有GM(1,1)模型、残差模型、新陈代谢模型、灰色Verhulst模型、离散灰色模型等几种类型。本文采用使用最广泛的GM(1,1)模型。2、GM（1，1）模型设(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)((1),(2),,,()),((1),(2),,,())XxxxnXxxxn称(0)()()()kXkaxkb为模型的原始形式。其中G表示灰色(grey)，M表示模型(Model)，第一个1表示一阶方程，第二l表示1个变量。GM(1，1)模型首先对原始数据进行一阶累加生成，然后利用指数曲线拟合并预测，最后通过累减还原得到预测值。一般将原始数据序列记为(0)X，将一阶累加生成序列记为(1)X。建模型的步骤如下：(1)假定原始数据序列为(0)(0)(0)(0)((1),(2),,,())Xxxxn对原始数据序列进行一阶累加生成(1)(1)(1)(1)((1),(2),,,())Xxxxn其中，(1)(0)1()()1,2,,kiXkxikn(2)构造(1)Z序列令(1)(1)(1)1()()(1)2xkxkxk，得(0)(0)(0)(0)((1),(2),,,())Zzzzn（3）建立白化方程(1)(1)dxaxbdt（4）求参数a和b若ˆ,Taab为参数序列，且(1)(1)(1)1(2)121(3)121()12zzBzn，(0)(0)(0)(2)(3)()nxxYxn用最小二乘法求解1,()TTTnaabBBBY（5）将白化方程离散化，微分变差分，得GM(1，1)灰微分方程(0)(1)()()xkazkb称为(1,1)GM模型的基本形式。（6）白化微分方程求解求得到微分方程的解为：(1)(1)()((1))atbbxtxeaa(1,1)GM灰色预测模型(0)(1)()()xkazkb的时间响应方程为：(1)(0)ˆ(1)((1))akbbxkxeaa还原值为(0)(1)(1)ˆˆˆ(1)(1)()xkxkxk其中a为发展系数，2,2a，反映了(1)ˆ()xk及(0)ˆx的发展态势。b为灰色作用量。(1,1)GM模型中的灰色作用量是从背景值挖掘出来的数据，它反映数据变化的关系，其确切内涵是灰色的。残差检验按预测模型计算(1)ˆ()xk，累减(1)ˆ()xk生成(0)ˆ()xk，再计算原始序列(0)()xk和(0)ˆ()xk的绝对误差和相对误差序列：0(0)(0)ˆ()()(),1,2,,kxkxkkn(0)(0)()()100%,1,2,,()kkknxk关联度检验x0(k)与xi(k)关联系数记，则，称为分辨系数。ρ越小，分辨力越大，一般ρ的取值区间为(0,1),具体取值可视情况而定。当时，分辨力最好，通常取ρ=0.5。关联度ri公式为后验差检验法后验差检验其检验步骤是：(1)计算原始序列均值及均方差分别为：(0)(0)2(0)111(()())1(),S1nnkkxkxtxxknn(2)计算残差均值及均方差分别为：(0)(0)2(0)(0)121(()())1()(),1nnkkktkkSnn(3)计算后验差比值：21SCS(4)1(()0.6745)pPkS称为小误差概率。(5)确定模型级别，指标如表：模型精度等级小误差概率P后验差比CI0.950.35II0.80.5III0.70.65IV0.70.65等级说明:C值越小越好，即1S较0S小得多，表示原始数据离散大，而预测误差离散性小，则预测精度高；P越大越好，即小误差的概率大，直接表示拟合精度较高。若残差检验、关联度检验、后验差检验都能通过，则可以用其模型进行预测，否则进行残差修正。3、应用GM（1，1）模型预测全国铁路货运量3.1模型建立本文所选取的数据为2008年到2012年的目前最新的全国铁路货运量数据，数据来源国家统计局网站。数据整理如下。年份铁路货运量（万吨）20083303542009333348201036427120113932632012392863则原始序列(0)X=（330354，333348，364271，393263，392863）对其做一次累加得累加序列(1)X=（330354，663702，1027973，1421236，1814099）由matlab软件计算得矩阵B为所得的a、b结果如上右图即a=-0.055，b=313410所得的灰色预测模型为0806.57008330806.6031187)1()1(055.0kekX3.2模型检验残差建议及后验差检验结果如下表列1列2列3列4列5列6指标20082009201020112012实际值330350333350364270393260392860预测值330350340860360120380480401980绝对残差075104150127809120相对残差02.30%1.10%3.20%2.30%均方差比值0.2921小误差概率1由上表知相对误差最大不超过3.2%，误差较小。且均方差比值C=0.290.35，说明检验等级为一级好，小误差概率为10.95检验等级也为一级好。关联系数如下表则关联度r=（1+0.4597+0.6063+0.3333+0.4120）/5=0.56r=0.56基本满足ρ=0.5时r0.6的检验满意度的。综上所以检验都满足，说明模型的预测精度可靠，可用于全国铁路货运量的预测。另外，-a=0.0550.3，说明本模型可用于中长期预测。3.3全国铁路货运量预测依据模型对全国2013——2016年铁路货运量的预测如下表。列1列2年份货运量（万吨）2013424700201444870220154740612016500853三、结论从预测结果来看，我国未来几年铁路货运量还会持续增长，但是增速将会放缓。这与我国的现实国情是基本相一致的。虽然我国在2012年的时候铁路货运量相比2011年略有下降，但全社会的货运量并没有下降，民航和公路的运量同比是上升的。1至5月铁路上非控股合资公司和地方铁路的货运量同比也是上升的，下滑的主因是国家铁路不能很快适应经济结构、货物结构的调整。而目前我国整体经济正处于转型期，产业结构正在大力调整和升级，这个调整阶段出现短期小幅度下降也是正常的，而且短期内应该会一直处于缓慢上涨阶段。但是从中长期来看，铁路货运量在经过一段时间的缓慢上涨或者间断的小幅下降后还会恢复到平稳上涨阶段。参考文献：杨名桂，杨晓霞。基于灰色预测模型的重庆市入境旅游客流量预测。西南师范大学学报（自然科学版）2010何国华。区域物流需求预测及灰色预测模型的应用。北京交通大学学报（社会科学版）2008