[高三数学]二项式定理复习课

山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考第3课时二项式定理山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考第3课时二项式定理双基研习•面对高考山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回双基研习•面对高考基础梳理1．二项式定理(1)二项式定理公式(a＋b)n＝__________________________________________叫做二项式定理．(2)二项展开式的通项Tk＋1＝_________为展开式的第_______项．C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)k＋1Cknan－kbk山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回提示：从整体看，(a＋b)n与(b＋a)n相同，但具体到某一项是不同的，如(a＋b)n的第k＋1项Tk＋1＝Cknan－kbk，(b＋a)n的第k＋1项T′k＋1＝Cknbn－kak.思考感悟在公式中，交换a，b的顺序对各项是否有影响？山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回2．二项式系数的性质(1)对称性：与首、末两端_______的两个二项式系数相等，即_________.(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当_______时，二项式系数是递增的；当_________时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，__________取得最大值．等距离Cmn＝Cn－mnkn＋12k≥n＋12中间一项山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回当n是奇数时，中间两项_______和_______相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋…＋Cnn＝_____.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和____奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…＝_______.n-12nCnn12C2n等于2n－1山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回课前热身1．(教材习题改编)在(x2－13x)8的展开式中的常数项是()A．7B．－7C．28D．－28答案：A山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()A．9B．8C．7D．6答案：B3．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项的系数是8，则它的第三项的二项式系数为()A．24B．18C．16D．6答案：D山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回4．在(x＋2x)n的二项展开式中，若常数项为60，则n等于________．答案：65．(x＋1x)7的二项展开式中x的系数是________．(用数字作答)答案：35山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回考点探究•挑战高考求展开式中的指定项通项公式中含有a，b，n，r，Tr＋15个元素，只要知道了其中的4个元素，就可以求出第5个元素，在求展开式中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为解方程(或方程组)．这里必须注意隐含条件n，r均为非负整数且r≤n.考点突破山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．【思路分析】利用通项公式，根据指定项的特点确定r的值，注意隐含条件的应用．例1山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回【解】通项公式为Tr＋1＝Crnxn－r3(－12)rx－r3＝Crn(－12)rxn－2r3.(1)因为第6项为常数项，所以r＝5时，有n－2r3＝0，即n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝12×(10－6)＝2，∴所求的系数为C210(－12)2＝454.山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回(3)根据通项公式，由题意得10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z.令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k，∵r∈Z，∴k应为偶数．∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C210(－12)2x2，C510(－12)5，C810(－12)8x－2.山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回【名师点评】(1)解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项；(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回互动探究1本例题已知条件不变，问：“这个展开式中是否含有x的一次项？”若没有，请说明理由；若有，请求出．山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回解：由例题知n＝10，Tr＋1＝Cr10(－12)rx1023r，若含x的一次项，则10－2r3＝1，∴10－2r＝3，2r＝7，r＝72，与r∈Z矛盾，∴此展开式中不含x的一次项．山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回求二项展开式中系数最大的项根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第r＋1项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并求解此不等式组求得．山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【思路分析】根据已知条件求出n，再根据n的奇偶性，确定出二项式系数最大的项．例2山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回【解】T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有C5n25＝C6n26⇒n＝8.∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48·(2x)4＝1120x4.设第r＋1项系数最大，则有Cr8·2r≥Cr－18·2r－1Cr8·2r≥Cr＋18·2r＋1⇒5≤r≤6.∴r＝5或r＝6.∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回【思维总结】在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负符号．当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关；而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关．山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法，注意赋值要有利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为0，±1.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数和，令x＝－1可得奇数次项系数之和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和．赋值法在二项展开式中的应用山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a7＋a6＋…＋a1；(2)a7＋a5＋a3＋a1；(3)a6＋a4＋a2＋a0.【思路分析】所求结果与各项系数有关，可以考虑用“特殊值法”，即“赋值法”整体解决．例3山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回【解】(1)令x＝0，则a0＝－1；令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①∴a7＋a6＋…＋a1＝129.(2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由①－②2得：a7＋a5＋a3＋a1＝12[128－(－4)7]＝8256.山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回(3)由①＋②2得：a6＋a4＋a2＋a0＝12[128＋(－4)7]＝－8128.山东水浒书业有限公司·章计数原理、概率、随机变量及其分布双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回【方法指导】若(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn