向量和三角形内心、外心、重心、垂心相关知识

向量和三角形内心、外心、重心、垂心相关知识1/4向量与三角形内心、外心、重心、垂心的相关知识一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）0OCOBOAO是ABC的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211yxCyxByxAyxO0OCOBOA0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxxO是ABC的重心.证法2：如图OCOBOA02ODOAODAO2DOA、、三点共线，且O分AD为2：1O是ABC的重心（2）OAOCOCOBOBOAO为ABC的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOAACOB同理BCOA，ABOCO为ABC的垂心（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心OOCcOBbOAa0为ABC的内心.证明：bACcAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，bACcAB平分BAC,(AObACcAB)，令cbabcOABCDEOABCDE向量和三角形内心、外心、重心、垂心相关知识2/4cbabcAO（bACcAB)化简得0)(ACcABbOAcba0OCcOBbOAa（4）OCOBOAO为ABC的外心。典型例题：例1：O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：如图所示ABC，ED、分别为边ACBC、的中点.ADACAB2ADOAOP2APOAOPADAP2AP//AD点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C.例2：（03全国理4）O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACACABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（B）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：ACACABAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，ACACABAB平分BAC,点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B.例3：O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)coscos(CACACBABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的ABCDE向量和三角形内心、外心、重心、垂心相关知识3/4（）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足.)coscos(CACACBABABBC=CACBCACBABBCABcoscos=CACCBCACBABBBCABcoscoscoscos=BC+BC=0点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.练习：1．已知ABC三个顶点CBA、、及平面内一点P，满足0PCPBPA，若实数满足：APACAB，则的值为（）A．2B．23C．3D．62．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，0OCOBOA，则OBOA()A．21B．0C．1D．213．点O在ABC内部且满足022OCOBOA，则ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（）A．0B．23C．45D．344．ABC的外接圆的圆心为O，若OCOBOAOH，则H是ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心5．O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，若222OBBCOA222ABOCCA，则O是ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心6．ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，ABCDE向量和三角形内心、外心、重心、垂心相关知识4/4则实数m=7．（06陕西）已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|+AC→|AC→|)·BC→=0且AB→|AB→|·AC→|AC→|=12,则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形8．已知ABC三个顶点CBA、、，若CABCCBABACABAB2，则ABC为（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C