学习三角函数的单调性的基本方法

1求三角函数的单调性的基本方法：函数sin()yAxk的单调区间的确定，首先要看A、ω是否为正，若ω为负，则先应用诱导公式化为正，然后将ωx+φ看作一个整体，化为最简式，再结合A的正负，在22,22kxkkz和322,22kxkkz两个区间内分别确定函数的单调增减区间。1、求函数)213sin(xy在区间[-2π，2π]的单调增区间。解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0yAxA）的形式：)321sin()213sin(xxy⑵把标准函数转化为最简函数（sinyAx）的形式：令123zx，原函数变为1sin()sin23yxz⑶讨论最简函数sinyz的单调性：从函数sinyz的图像可以看出，sinyz的单调增区间为3[2,2]22kk，K。所以32222KzK，K即23232122KxK，K∴3114354KxK，K⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：当k=0时，31135x当k=1时，222333x当k=-1时，3137x⑸在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间：2因为[2,2]x，所以该函数的单调增区间为312x和235x2、求函数)26sin(2xy在区间[0，π]的单调增区间。解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0yAxA）的形式：sin(2)sin(2)66yxx⑵把标准函数转化为最简函数（sinyAx）的形式：令26zx，原函数变为sin(2)sin6yxz⑶讨论最简函数sinyz的单调性：从函数sinyz的图像可以看出，sinyz的单调增区间为3[2,2]22kk，K。所以32222KzK，K3即3222262KxK，K∴1536KxK，K⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：当k=0时，1536x当k=1时，41133x当k=-1时，2136x⑸在要求的区间内[0，π]确定函数的最终单调增区间：因为[0,]x，所以该函数的单调增区间为1536x。3、求函数)321sin(xy在区间[-2π，2π]的单调增区间。解：⑴把标准函数转化为最简函数（sinyAx）的形式：令123zx，原函数变为1sin()sin23yxz4⑵讨论最简函数sinyz的单调性：从函数sinyz的图像可以看出，sinyz的单调增区间为2222KzK，K。即2232122KxK，K514433KxK，K⑶计算k=0,k=±1时的单调增区间：当k=0时，5133x当k=1时，71333x当k=-1时，171133x⑷在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间：又因为]2,2[X，所以该函数的单调增区间为5133x54、求函数2cos(2)13yx在区间[-π，π]的单调增区间解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（cos(),0,0yAxA）的形式：2cos(2)12cos(2)133yxx⑵把标准函数转化为最简函数（cosyAxK）的形式：令23zx，原函数变为2cos(2)12cos13yxz⑶讨论最简函数2cos1yz的单调性：从函数2cos1yz的图像可以看出，2cos1yz的单调增区间为[2,2]kk，K；单调减区间为[2,2]kk，K。所以，单调增区间：22KzK，K-1.5-1-0.500.511.5-8-6-4-202468X6即2223KxK，K∴36KxK，K①计算k=0,k=±1时的单调增区间：当k=0时，1136x当k=1时，2736x当k=-1时，4536x②在要求的区间内[-π，π]确定函数的最终单调增区间：因为[,]x，所以该函数的单调增区间为56x、1136x和23x单调减区间：22KzK，K即2223KxK，K∴263KxK，K①计算k=0,k=±1时的单调减区间：当k=0时，1263x当k=1时，7563x当k=-1时，5163x②在要求的区间内[-π，π]确定函数的最终单调减区间：7因为[,]x，所以该函数的单调减区间为5163x和1263x5、求函数xycoslg)21(的单调区间解：令lgcosux，cosx，函数cosx的减区间是函数lgcosux的减区间，因此是函数1()2uy的增区间；函数cosx的增区间是函数lgcosux的增区间，因此是函数1()2uy的减区间。由于cos0x，所以函数xycoslg)21(的单调减区间为[2,2)kk，单调减区间为(2,2]kk。86、求函数sin(2)412logxy的单调区间。解：令sin(2)4ux，函数12lguyo的增区间是函数sin(2)4ux的减区间且使sin(2)04ux；函数12lguyo的减区间是函数sin(2)4ux的增区间且使sin(2)04ux。所以，函数sin(2)412logxy的单调减区间为222()42kxkkz，即()88kxkkz；单调增区间为222()24kxkkz，即3()88kxkkz。97、求函数3tan()64xy的单调区间。解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（tan(),0,0yAxA）的形式：113tan()3tan()6446yxx⑵把标准函数转化为最简函数（tanyAx）的形式：令146zx，原函数变为13tan()3tan46yxz⑶讨论最简函数3tanyz的单调性：从函数3tanyz的图像可以看出，3tanyz的单调区间（递减）为(,)22kk，K。所以22KzK，K即12462KxK，K10∴484433KxK，K