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近世代数论文1近世代数论文师范学院14级数学与应用数学2班景羡林学号：12147139213一、上半学期学习总结第一章基本概念1、集合的幂集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为ρ(A)或2A。（含n个元素的集合的子集有2n个，即幂集中的元素共有2n个）2、积（笛卡尔积）：A×B={（a，b）|a∈A，b∈B}叫A与B的积。（A×B≠B×A）3、A到B的对应法则ø为A到B的映射⇔①∀x∈A，x有象②∀x∈A，x的象唯一③∀x∈A，x的象在B中。4、若A是含n个元素的集合，则A的映射共有𝑛𝑛个，一一映射共有n！个。5、代数运算：一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算。（o为A×B到D的代数运算⇔∀（a，b）∈A×B，aob有意义，且aob唯一，属于D）。6、满射：∀y∈𝐴̅，设y=∅（x），求出x（x为y的函数），若x存在且x∈A，则∅为满射。（𝐴̅中的每一个元素都有原象）；单射：∀a，b∈A，若a≠b，则∅（a）≠∅（b）。（元素不同象不同）；一一映射：即单又满。（一一映射都有逆映射，若A与B间是一一映射，则A、B有限且元素个数相同）7、一个A到A的映射叫做A的一个变换；有限集A的一个一一变换，叫做A的一个置换。8、一个A到𝐴̅的映射∅，叫做一个对于代数运算o和𝑜̅来说的，A到𝐴̅的同态映射，假如满足：∀a,b∈A，a→𝑎̅，b→𝑏̅则aob→𝑎̅𝑜̅𝑏̅（运算的象=象的运算）；A与𝐴̅同态⇔A与𝐴̅存在同态满射∅。9、一个A到𝐴̅的一一映射∅，叫做一个对于代数运算o和𝑜̅来说的，A到𝐴̅的同构映射。（同构映射的逆映射也是同构映射）。10、若R为法则，若R满足∀a，b∈A，要么aRb，要么a𝑅̅b，唯一确定，则称R为A的元间的一个关系；集合A的元间的一个关系~叫做一个等价关系，假如满足①反射律（∀a∈A，有a~a）②对称律③推移律近世代数论文211、A的一个分类即为A的一些子集𝐴1、𝐴2、…𝐴𝑛满足：①𝐴1∪𝐴2∪…∪𝐴𝑛=A.②𝐴𝑖∩𝐴𝑗=∅（i≠j）（不相交）。（集合A的元间的一个等价关系~决定A的一个分类）12、模n的同余关系（a≡b（n）读作a同余b模n）：若n∣（a-b）则a≡b（a与b同除n后余数相同）。若[𝑎]=[𝑏]则a≡b（n）即n|a-b。第二章群论1、群的定义：一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如：①乘法封闭。②结合律成立。③存在单位元。④逆元存在。2、群的阶：群中元素的个数；元素的阶：使得𝑎𝑚=e成立的最小正整数m，记为|𝑎|，若这样的m不存在，则说a是无限阶的。（单位元的阶为1）3、元素的阶的性质：①设a的阶为m，若𝑎𝑛=e则m∣n；②任何元素与它的逆元同阶；③设G为一个群，a∈G，若a的阶为2，则a=𝑎−1；④在一个有限群G中，阶大于2的元素的个数一定是偶数。4、交换群：∀a，b∈G，ab=ba5、若一个有乘法的有限集满足①乘法封闭；②结合律成立；③消去律成立（若ax=a𝑥＇，那么x=𝑥＇；若ya=𝑦＇a则y=𝑦＇）。则必能做成一个群。（无限集不适用）6、群同态：假定G与𝐺̅对于它们的乘法来说同态，若G是群，那么𝐺̅也是一个群（具有相同的特性）。但是反之却不成立。7、设（G，·）和（𝐺̅，·）是两个群，如果存在G和𝐺̅的同态满射，则称G和𝐺̅同态，记为G～𝐺̅；如果存在G和𝐺̅的同构映射，则称G和𝐺̅同构，记为G≌𝐺̅。8、A的一个变换就是一个A到A自己的映射。9、一个集合A的所有一一变换作成一个变换群G。（变换群是非交换群）；变换群不唯一，变换做成群只有一一映射，10、任何一个群都同一个变换群同构。11、一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换；一个有限集合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群。（置换群的表示不唯一，置换群是非交换群）12、一个包含n个元的集合的全体置换作成的群叫做n次对称群；n次对称群𝑆𝑛的阶是n！。13、每一个有限群都与一个置换群同构。14、循环群的每个元素都可以写成生成元的方幂。（循环群的生成元不唯一，不同的元可以生成同一个群）15、假定G是一个由元a生成的循环群，那么G的构造完全可以由a的阶来决定：①a的阶若是无限，那么G与整数加群同构；②a的阶若是一个有限整数n，那么G与模n的剩余类加群同构。16、一个循环群一定是一个交换群。17、设H为群G的非子集，如果H按G中的运算作成一个群，则称H近世代数论文3为G的一个子群，记为H≤G。18、子群的判法：⑴定义法；⑵一个群G的一个非空子集H作成G的一个子群的充要条件是①乘法封闭；②逆元成立（a∈H⇒𝑎−1∈H）；⑶充要条件是：a、b∈H⇒a𝑏−1∈H；⑷充要条件是：a、b∈H⇒ab∈H。19、群G中由等价关系a～b⇔a𝑏−1∈H决定G的一个分类，其中的每一个类，叫做子群H的右陪集，用Ha表示。20、群G中由等价关系a～′b⇔𝑏−1a∈H决定G的一个分类，其中的每一个类，叫做子群H的右陪集，用aH表示。21、一个子群H的右陪集个数和左陪集个数相等。（一般的，∀a∈G，Ha≠aH，a为单位元时才相等）22、一个群G的一个子群H的右陪集（或左陪集）的个数叫做H在G里的指数，记为[𝐺:𝐻]。（陪集个数=H中元素个数）23、子群的阶能整除大群的阶；一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶。24、一个群G的一个子群N叫做一个不变子群，假如对于G的每一个元a来说，都有Na=aN（指Na与aN这两个集合一样）。25、一个交换群G的每一个子群H都是不变子群。26、不变子群的判法：⑴定义法：∀a，有Na=aN；⑵∀a∈G，aN𝑎−1=N；⑶a∈G，n∈N⇒an𝑎−1∈N27、一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群叫做一个商群，用G/N表示；𝐺的阶𝑁的阶=G/N的阶。（每一个不变子群都可产生一个商群）28、一个群G同它的每一个商群G/N同态。29、假定G与𝐺̅是两个群，并且G与𝐺̅同态，那么这个同态满射的核N是G的一个不变子群，并且G/N≌𝐺̅30、一个群G和它的每一个商群同态；群的同态满射的核是一个不变子群。二、下半学期学习计划l．时间安排问题(1)在学习前确定明确的目标，比如要在多少时间里完成多少内容。(2)按时完成作业。（3）充分利用课余时间来提高自己。2．注意力问题上课专心听讲，做到注意力高度集中近世代数论文43．学习兴趣问题要想学好近世代数这门课程，首先必须要对这门学科有兴趣，兴趣是最好的老师。4.学习方法问题(1)多做题，在做题中体会做题的方法，思想，步骤。(2)敢于不耻下问，与同学们共同提高。（3）敢于向老师请教问题。(4)合理利用课余时间，多在图书馆看一些课外辅助读物，提升自己的能力。（5）课前提前预习，课后及时复习。（6）每隔一段时间就要复习一下以前学过的东西，做到温故而知新。（7）多做一下以前的考试题，了解考试题型。5、学会总结知识将课本上的概念理论用便于自己理解的话总结起来，学会比较记忆，把相同类型的内容总结到一起，一并理解记忆。三、学习意见、建议希望老师能把之前发的那些题仔细讲一下，近世代数这门课理论概念太多，这也是同学们上课听着浮躁的主要原因，数学专业的学生自然对计算之类的东西比较敏感，而像短篇小说一样的概念理论，无疑是对数学专业学生的煎熬，至少对我来说如此，我感觉这门课的概念理论不难记忆，但是不容易理解。为了能更好地学习近世代数这门课程，现提一点建议如下：1、如果能把枯燥的理论概念融入到习题讲解中，我感觉效果可能会更好。2、在课堂上积极调动学生学习，比如多叫学生在黑板上做题，对学生上课注意力高度集中以及更好地理解学习内容都大有好处。近世代数是一门比较抽象的学科，但作为数学专业的学生，它是我们必须要攻克的难关，只要方法得当，并认真去学，我相信，学好近世代数不是难事，IfirmlybelievethatIcanmakeit！