证据理论基础(1)

万江文多源测试信息融合证据理论基础（1）主要内容•引言•证据理论基础•证据理论研究现状•未来研究方向22020/4/17多源测试信息融合主要内容•引言•证据理论基础•证据理论研究现状•未来研究方向32020/4/17多源测试信息融合1引言主观贝叶斯理论的缺点：(1)要求概率（各证据之间）都是独立的；(2)要求先验概率P(Oi)和条件概率P(Dj|Oi)；(3)要求统一的识别框架，不能实现不同层次的组合；(4)不能区分“不确定”和“不知道”。42020/4/17多源测试信息融合1引言不确定性分类不确定性可以分为随机性、模糊性和认识不确定性三种。随机性：在自然界中客观存在，可根据历史资料得到的统计数字来描述，常用概率论和数理统计来解决这方面问题。模糊性：通常指发生在概念上的模糊，如大、中、小界限的模糊等。模糊理论是处理此问题的有力工具。认识的不确定性：是由于人们认识水平的局限以及知识缺乏所造成的。随机性和模糊性是客观的不确定性，认识的不确定性是主观的不确定性。52020/4/17多源测试信息融合1引言概率的解释证据理论出现以前，概率的解释主要有客观解释，个人主义解释及必要性解释。客观解释概率：认为概率描述了一个可以重复出现事件的客观事实，用试验次数趋于无穷时，该事件发生的频率的极限来刻划。个人主义解释：认为概率反映了个人的某种偏好，它根据某个人在赌博中或其他带有不确定性结果的事件中所表现出来的行为来推算。62020/4/17多源测试信息融合1引言必要性解释：则认为概率是测量一个命题推出另一个命题程度的量，这个量由两个命题之间的逻辑关系完全决定，与个人的偏好无任何关系，又称为逻辑主义解释。Shafer指出以上三种概率的解释都没有涉及概率推断的构造特征，因此，Shafer提出了对概率的第四种解释——构造性解释:概率是指某人在证据的基础上构造出的他对某一命题为真的信任程度，简称信度。72020/4/17多源测试信息融合主要内容•引言•证据理论基础•证据理论研究现状•未来研究方向82020/4/17多源测试信息融合4.2证据理论基础证据理论的起源证据理论源于20世纪60年代美国哈弗大学的数学家A.P.Dempster利用上、下概率来解决多值映射问题方面的研究工作。后来他的学生G.Shafer对证据理论做了进一步的发展和推广完善，引入了信任函数概念，形成了一套利用证据和组合来处理不确定性推理问题的数学方法。它作为一种不确定性推理方法，正受到越来越多的关注。称为（D-S）证据理论和信任函数理论。92020/4/17多源测试信息融合12{,,,}n2证据理论基础（1)识别框架假设现有一个判决问题，对于该问题我们所能认识到的所有可能答案的集合用Θ表示，且Θ中的所有元素都满足两两互斥；任一时刻的问题答案只能取Θ中的某一子集，答案可以是数值变量，也可以是非数值变量，则称此互不相容命题的完备集合Θ为识别框架，可表示为：(2-1)其中θi为识别框架的一个元素或事件。102020/4/17多源测试信息融合2证据理论基础（1)识别框架（续1）集合Θ的选取问题——识别框架的选取集合Θ的选取依赖于我们的认识水平和知识结构,包含我们所知道的和想要知道的。当一个命题对应于该识别框架的一个子集时，称该框架能够识别该命题，否则认为识别框架是无效的。因此，Θ的选取应当足够的丰富，使我们所考虑的任何特定的命题集都可以对应于Θ的某一集类R，（Θ,R）称为命题空间。当Θ中含有N个元素时，R中最多有2N个子集。需要说明的是，集合Θ可以为有限集也可以为无限集。本课程只讨论有限集。112020/4/17多源测试信息融合1212131232{,{},{},,{,},{,},{,,},}2证据理论基础（1)识别框架（续2）由识别框架中所有子集构成的一个有限集合称为Θ的幂集合，记作(2-2)其中φ表示空集。识别框架的任一子集A都对应于一个命题，一般可描述为“问题的答案在A中”。122020/4/17多源测试信息融合2证据理论基础•例1:以掷骰子为例，要判断其可能所出现的点数，则识别框架Θ={1,2,3,4,5,6}，而{1}则表示“掷出的点数为1”，则{2,4,6}表示“掷出的点数为偶数”，{1,2,3,4,5}则表示“掷出的点数不为6”，即“掷出的点数为1,2,3,4,5中的某一个”。由此可见，幂集合中的每一个子集A都代表一个命题。132020/4/17多源测试信息融合2证据理论基础证据理论是建立在识别框架基础上的推理模型，其基本思路如下：a)建立识别框架。利用集合论方法来研究命题；b)建立初始信任分配。根据证据提供的信息，分配证据对每一集合（命题）A本身的支持程度，该支持程度不能再细分给A的真子集。c)根据因果关系，计算所有命题的信任度。一个命题的信任度等于证据对它的所有前提的初始信任度之和。这是因为，若证据支持一个命题，则他同样支持该命题的推论。d)证据合成。利用证据理论合成公式融合多个证据提供的信息，得到各命题融合后的信任度。e)根据融合后的信任度进行决策，一般选择信任度最大的命题。2020/4/17多源测试信息融合142证据理论基础——证据函数(2)证据函数证据是整个证据理论的核心，证据函数又是描述证据的有力工具。下面将详细介绍证据理论中几个证据函数的基本概念及相关定理。基本置信度指派函数；信任度函数；似真度函数等152020/4/17多源测试信息融合2()0()1AmmA2A2证据理论基础——基本置信度指派函数定义1:设Θ为一识别框架，函数m是2Θ→[0,1]的映射，A为2Θ任一子集，记作，且满足：(2-3)则称m是2Θ上的基本置信度分配函数，也称为质量函数或mass函数。m(A)为命题A的基本置信度指派值，表示证据对A的信任程度，空集φ的基本信任分配值为0。162020/4/17多源测试信息融合2证据理论基础——基本置信度指派函数基本置信度指派函数相关的几个定义（1）对于识别框架的任一子集A，只要满足m(A)0，则称A为证据的焦元。证据的焦元和它的基本置信度指派构成的二元体(A,m(A))称为证据体,证据是由若干证据体组成。172020/4/17多源测试信息融合2证据理论基础——基本置信度指派函数基本置信度指派函数相关的几个定义（2）焦元中所包含识别框架中的元素个数称为该焦元的基，记作|A|。当子集A中只包含一个元素时，即|A|=1，称为单元素焦元。当子集A中包含i个元素时，即|A|=i，称为i元素焦元。全体焦元的集合称为证据的核。18核就是识别框架的幂集2Θ吗?2020/4/17多源测试信息融合A22证据理论基础——基本置信度指派函数基本置信度指派函数的作用把Θ的任一子集都映射到[0,1]上的一个数m(A)：（1）当A由单个元素组成时，m(A)表示对相应命题A的精确信任度；（2）当，A≠Θ，且A由多个元素组成时，m(A)也是相应命题A的精确信任程度，但却不知道这部分信任度该分给A中的哪些元素；（3）当A=Θ时，m(A)是对Θ的各个子集进行信任分配后剩下的部分，它表示不知道该如何对它进行分配。192020/4/17多源测试信息融合2证据理论基础——基本置信度指派函数例2：泄漏诊断时，设识别框架Θ={A1，A2，A3}，A1表示“发生大泄漏”，A2表示“发生小泄漏”，A3表示无泄漏，基本置信度指派分别为m(φ)=0，m({A1})=0.3，m({A2})=0，m({A3})=0.1m({A1，A2})=0.2，m({A1，A3})=0.2，m({A2，A3})=0.1，m({A1，A2，A3})=0.120返例32020/4/17多源测试信息融合2证据理论基础——基本置信度指派函数当A={A1}时，m(A)=0.3，它表示对命题“答案是大泄漏”的精确信任度为0.3。当A={A1，A2}时，m(A)=0.2，它表示对命题“答案或是大泄漏，或是小泄漏”的精确信任度为0.2，但却不知道该把这0.2分给{大泄漏}还是分给{小泄漏}。当A={A1，A2，A3}时，m(A)=0.1，它表示不知道该把它如何分配；它不属于{A1}，就属于{A2}或{A3}，只是基于现有的知识，还不知道该如何进行分配。212020/4/17多源测试信息融合2证据理论基础——信任度函数定义2:信任度函数：集合A是识别框架Θ的任一子集，A中全部子集对应的基本置信度之和称为信任函数Bel(A)，即Bel：2Θ→[0，1]其中，Bel(A)成为事件A的信任值，它表示证据对A为真的信任程度；空集的信任值为0。222020/4/17多源测试信息融合Bel()()0Bel()()1BMMB121212Bel(AA)Bel(A)Bel(A)Bel(AA)2证据理论基础——信任度函数信任度函数表示对假设的信任程度的下限估计。由信任度分配函数的定义容易得到：如果对于Θ中的任意两个子集A1,A2，满足：则称为弱信任度函数。232020/4/17多源测试信息融合2证据理论基础——信任度函数例3：同例2，已知：m(φ)=0，m({A1})=0.3，m({A2})=0，m({A3})=0.1m({A1，A2})=0.2，m({A1，A3})=0.2，m({A2，A3})=0.1，m({A1，A2，A3})=0.1求.Bel({A1})和Bel({A1,A2})的信任度值.解：根据题意，可得Bel({A1})=m({A1})=0.3Bel({A1,A2})=m({A1})+m({A2})+m({A1,A2})=0.5.242020/4/17多源测试信息融合2证据理论基础——信任度函数引理1:假设A是一个有限集合，则下式成立•证明：令是一个有限的非空集合，其中n为正整数，则有25B1(1)0BAA其它12,,,nA{,}{}B(1)(1)(1)(1)(1)(1)012(1(1))0ijiBAAiijnnnnnnnB(1)0BA2020/4/17多源测试信息融合2证据理论基础——信任函数引理2.2:若A是有限集，且，则：证明：根据引理2.1，可证。26BA(1)(1)0ACBCAAB其它(BD)D()D()(1)(1)(1)(1)(1)CBDBCABABDABBDAB2020/4/17多源测试信息融合()()1()BAPlAmBBelA2证据理论基础——似真度函数定义3：似真度函数：设识别框架Θ，幂集2Θ→[0,1]映射，A为识别框架内的任一子集，似真度函数Pl(A)定义为对A的非假信任度，即对A似乎可能成立的不确定性度，此时有：Pl(A)表示A为非假的信任程度，A的上限估计，且Bel(A)≤Pl(A)；Bel(Ā)表示对A为假的信任程度，即对A的怀疑程度。27A2020/4/17多源测试信息融合2证据理论基础——信任区间信任区间——定义4：信任区间表示事件发生的下限估计到上限估计的范围，即：[Bel(A)，Pl(A)]称为命题A的信任区间，Pl(A)-Bel(A)描述了对A的不确定性，有时也称为不确定区间。区间的下限等于直接证据对命题的支持程度，即命题的信任度；区间的上限等于潜在证据对命题的支持程度，即命题的似真度。280BelPl1支持区间信任区间拒绝区间证据区间划分示意图2020/4/17多源测试信息融合2证据理论基础——信任区间•例4：说说下列信任区间，对命题A表示的实际意义：29[Bel(A),Pl(A)]意义[0，1]对命题A一无所知[0，0]命题A为假[1，1]命题A为真[0.5，0.5]对命题A的准确信任度为0.5[0.4，1]证据提供对命题A的部分支持度[0，0.7]证据对命题的部分支持度[0.3，0.9]证据对命题A的信任区间为0.3-0.92020/4/17多