3.3.1几何概型

数学是好“玩”的……长度转盘游戏情景1：（研究指针位置）面积情景2：一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，遇到红灯和绿灯的概率那个大？为什么？下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫分别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问卧室在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？卧室书房提出问题古典概型的两个基本特点:（1）所有的基本事件只有有限个;（2）每个基本事件发生都是等可能的。思考：上述问题的概率是古典概型问题吗？为什么？那么对于有无限多个试验结果（不可数）的情况相应的概率应如何求呢?绿黄绿绿红绿黄1、几何概型是怎样定义的？事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的位置和形状无关.满足以上条件的试验称为几何概型.2、在几何概型中，事件A的概率是怎么定义的？3、几何概型与古典概型有什么区别和联系？并举例说明.AAAP)(Ω其中μ 表示区域Ω  的几何度量，.Aμ表示子区域A的几何度量（2）每个基本事件出现的可能性相等.（1）试验中所有可能出现的基本事件有有限个；几何概型的特征古典概型的特征（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限个；（2）每个基本事件出现现的可能性相等.异同两种概型、概率公式的联系mP(A)n试验的基本事件总数所包含的基本事件数A事件1.古典概型的概率公式:2.几何概型的概率公式:P构成事件A的区域长度（面积或体积）（A）=试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）几何概型可以看作是古典概型的推广求几何概型的概率时考虑试验的结果个数失去意义辨一辨先判断是何种概率模型,再求相应概率.(1)在集合A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个元素a,则P(a≥3)=.(2)已知点0(0,0)、M(60,0),在线段OM上任取一点P,则P(|PM|≤10)=.(2)几何概率模型,P(|PM|≤10)=1/6(1)古典概率模型,P(a≥3)=7/10(3)在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率.0.002(2)在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率.0.004与面积成比例练一练(1)在区间（0，10）内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数a7的概率为.0.3与长度成比例与体积成比例若满足2≤a≤5呢？1.如右下图,假设在每个图形上随机撒一粒芝麻,分别计算它落到阴影部分的概率.11P238P2.取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于1米的概率有多大？31)(AP3.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点,求该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率.8P◆4：一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽为20m的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.规范解题步骤规范解题步骤20m30m2mA◆解：设事件A=“海豚嘴尖离岸边不超过2m”，如右图，则事件A可用图中的阴影的面积表示，7523600184)(AP故请同学们归纳求几何概型概率的规范步骤，并与古典概型步骤作比较！)(18416262030)(600203022mmA典例分析平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任意掷在这一平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率.则，只有当时硬币不与平行相碰，如图。aOMraOM0araAPraaAA)(,；所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为。ara思路一A2aMOOOar解：设事件A=“硬币不与任一条平行线相碰”，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线垂线OM，A2a解：设事件A=“硬币不与任一条平行线相碰”，为了求事件A的概率，只需研究硬币不与两条平行线中任何一条相碰即可，由于硬币的位置由硬币中心决定，如图，则事件A可用图中的阴影来表示，可用宽度来表示几何度量，rMOrraaA22,2araaraAPA222)(rO思路二rMOrMOrr所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为。araCnm这是一个几何概型问题。araaraAP222)(由几何概型的定义知：22Aar2a解：记“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A。为了确定硬币的位置，过硬币中心O作两平行线间的垂线段，其长度2a即是几何概型定义中Ω的几何度量。当硬币不与平行线相碰时，硬币中心O可移动长度2a-2r即是子区域A的几何度量。所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为。ara思路三如图，平面是由若干个边长为2a的小正方形组成.参加者把半径为r（r＜a）的“金币”，任意抛掷在平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个正方形之内（不与正方形的边相碰），便可获奖，求参加者获奖的概率.分析：不妨先考虑金币与一个小正方形的关系.S2a2aA试验的基本事件是:金币的中心投在由若干个小正方形组成的平面里.设事件A为“金币不与小正方形边相碰”,如图，Ａ即为“金币的中心要投在绿色正方形内”参加者获奖的概率为:()nAPAnS个的面积个的面积22()ara解：AS的面积的面积由几何概型的定义知：变式引申若ra,你愿意玩这个游戏吗？例某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10分钟的概率？例某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10分钟的概率？分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。31155Dd)(的测度的测度AP解：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T1T=5，T2T=10，如图所示:·答：侯车时间大于10分钟的概率是1/3.T1T2T记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T上时，事件发生，区域D的测度为15，区域d的测度为5。所以变式：1.假设题设条件不变，求候车时间不超过10分钟的概率.T1T2T321510Dd)(的测度的测度AP分析：2某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠3分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10分钟的概率？152Dd)(的测度的测度AP分析：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T0到达，T2时刻出发。线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T0T2=3，TT0=10，如图所示:·记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T上时，事件A发生，区域D的测度为15，区域d的测度为15-3-10=2。所以T1T2TT01.某人一觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.解:设事件A={等待的时间不多于10分钟}事件A发生的区域为时间段[50,60]6160106010)(＝分钟里醒来的时间长度所有在分钟时间长度等待的时间不多于AP巩固练习2.教室后面墙壁上的时钟掉下来,面板摔坏了,刻度5至7的部分没了,如图:但指针运行正常,若指针都指向有刻度的地方视为能看到准确时间,求不能看到准确时间的概率.1/6巩固练习6011:()()3606PA方法角度法060132:()()26rPAr方法弧长法211233:()()6rrPAr方法面积法3.在直角坐标系内,射线OT落在60o角的终边上,任作一条射线OA,求射线OA落在∠XOT内的概率。巩固练习甲、乙二人约定在12点到5点之间在某地会面,先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响.求二人能会面的概率.想一想解:以X,Y分别表示甲乙二人到达的时刻,于是0X5,0Y5即点M落在图中的阴影部分.所有的点构成一个正方形,即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能的,所以落在正方形内各点是等可能的.012345yx54321.M(X,Y)二人会面的条件是：||,XY1012345yx54321.259254212252正方形的面积阴影部分的面积py-x=1y-x=-1我的收获3.几何概型的概率计算公式1.几何概型的特征2.几何概型的定义每个基本事件出现的可能性.几何概型中所有可能出现的基本事件有个；如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量(长度、面积或体积)成正比例,则称这样的概率模型为几何概率模型。无限相等()APA4.解决几何概型的关键是构造随机事件对应的几何图形.解题步骤记事件构造几何图形计算几何度量求概率下结论思考题：有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2，蚂蚁停在圆形内的概率为0.1，求图中五角星的面积.(计算结果保留π）随堂练习，巩固提高解：记“蚂蚁最后停在五角星内”为事件A,401.02)()(2APSSSSAP圆五角星五角星圆20yx95604060)(222矩形的面积阴影部分的面积AP解:以x，y分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为试一试:3.两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.思考与讨论假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到家，小明离开家去上学的时间在早上7：00至8：00之间，问小明在离开家之前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？（提示：可借助直角坐标系）6.57.5()x送报人到达的时间()y父亲离开家的时间870yx.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?6.57.5()x送报人到达的时间()y父亲离开家的时间870yx解:以横坐标x表示报纸送到时间,以纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系。(x,y)可以看成平面上的点，试验的全部结果所构成区域87,5.75.6|),(yxyx111S87,5.75.6,|),(yxxyyxA即图中的阴影部分，面积为：872121211AS这是个几何概型，所以87)(SSAPA面积为事件A：父亲在离开家前能拿到报纸所构成的区域课堂小结1.几何概型的特点.2.几何概型的概率公式.3.公式的运用.()APA构成事件的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）本节核心内容是几何概型特点及概率求法，易错点是容易找错、求错几何度量。要求在做解答题时要有规范的步骤和必要的文字说明，在平时的学习中养成良好的学习习惯！（一）与长度有关的几何概型（二）与角度有关的几何概型（二）与角度有关的几何概型（三）与面积有关的几何概型（四）几何概型的应用——随机模拟1.一张方桌的图案如图所示.将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率：（1）豆子落在红色区域；（2）豆子落在黄色区域；（3）豆子落在绿色区域；（4）豆子落在红色或绿色区域；（5）豆子落在黄色或绿色区域.练习：课本：P142A组1,2，3练习举例（五）与体积有关的几何概型（五）与体积有关的几何概型（六）几何概型的应用（六）几何概型的应用例3：假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?（六）几何概型的应用解:以横坐标x表示报纸送到时间,以纵坐标y表