幂级数展开

高等微积分讲义10.1第10讲函数的幂级数展开§1函数的幂级数展开由上面讲到的幂级数的性质可以看出，幂级数有广泛的应用，那么就有另外一个问题，一个函数是否可以展开为幂级数呢？我们先讨论必要条件。反复应用上一讲的定理5，我们知：若()()00nnnfxaxx∞==−∑，则()()00,fxxRxR∞∈−+C，并且有()()0!nnfxna=。反过来看，若()fx在0xx=之邻或内无穷次可微，是否一定可以表示为一个收敛幂级数()()()0001!nnnfxxxn∞=−∑呢？我们来看下面的例子：例1.设()21000xexfxx−⎧⎪≠=⎨⎪=⎩，由第一学期的讨论，我们知道：()()00nf≡，n∀∈N。若()fx在(),RR−上可展为幂级数，则展式必定为：()()()000!nnnfxfxn∞=≡≠∑这说明函数不能表示为幂级数的形式。上面的例子说明并非所有的无穷次可微函数均可表示为幂级数的形式，那么一个函数可展为幂级数之条件是什么呢？由上面讨论知：若可展，则必有()()()()000!nnnfxfxxxn∞==−∑，()00,xxRxR∈−+；因而可展的充要条件为：()()()()()0000!knknkfxRxfxxxk==−−→∑在()00,xxRxR∈−+内成立。这时也称函数在()00,xxRxR∈−+内解析，记作：()()00,fxxRxRω∈−+C。为了讨论余项函数()nRx之性质，先看()nRx的几种表达式：1.Peano余项：()()0nnRxoxx=−；2.Lagrange余项：()()()()()1101!nnnfRxxxnξ++=−+，其中：()0,xxξ∈；函数的幂级数展开10.23.Cauchy余项：()()()()011!xnnnxRxftxtdtn+=−∫。Cauchy余项之证明：()()()()()000!knknkfxRxfxxxk==−−∑，()00nRx=；()()()()()()10011!knknkfxRxfxxxk−=′′=−−−∑，()00nRx′=；()()()()()()0nnnnRxfxfx=−，()()00nnRx=；()()()()11nnnRxfx++=；因而：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0000000000''02'''''223''''''''1112111223!11!!xxnnnnxxxxxnnnxxxxxxnnnxxxxxnnnnnxxRxRxRtdtRtdxtxtRtxtRtdtRtdxtRtxtxtRtdtRtdxtxtRtdtftxtdtnn++=+=−−=−−+−=−−=−−+−=−−==−=−∫∫∫∫∫∫∫∫利用积分第一中值定理，Cauchy余项还可以写为：()()()()()()()()[]()()()()()01100110001!1,!1101!xnnnxnnnnnRxftxtdtnfxxxxxnfxxxxxnξξξθθθ++++=−=−−∈=+−−−≤≤∫§2简单函数的幂级数展开上面讨论结果知，当()0nRx→时函数可展开为幂级数，下面考虑基本初等函数之幂级数展开，函数的幂级数展开式也称为Taylor级数，函数在00x=点的Taylor级数也称为Maclaurin级数。1.01!xnnexn∞==∑，00x=，R=+∞；()()111!xnnRxexnθ+=+，01θ，x∀∈R，()()101!nxnexRxn+≤→+。高等微积分讲义10.32.()()2101sin21!nnnxxn+∞=−=+∑，()()201cos2!nnnxxn∞=−=∑，x∈R，由于有：()()sinsin2nnxxπ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠，所以：()()011sin!2xnnnRxxttdtnπ+⎛⎞=−+⎜⎟⎝⎠∫，因而：()()()1010!1!nxnnxRxxtdtnn+≤−=→+∫，x∈R。3.()()111ln1nnnxxn−∞=−+=∑，(]1,1x∈−，()()()()()()111011111nnnxnnnnxtxRxdtntxθ+++−−=−=+++∫，01θ。4.()01nnnxxαα∞=⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠∑，其中：01α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，()()11!nnnαααα−−+⎛⎞=⎜⎟⎝⎠；()()()()101xnnnnRxntxtdtααα−−⎛⎞=−+−⎜⎟⎝⎠∫；级数的收敛域为：1α≤−时，()1,1x∈−；10α−时，(]1,1x∈−；0α≥时，[]1,1x∈−。函数的幂级数展开10.4§3Stirling公式（阅读材料）在讲述三角函数的定积分时，我们曾经得到了如下的Wallis公式：()()22!!1lim2121!!2nnnnπ→∞⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦这是一个很重要的公式。另外分析中还有一个与之同等重要的公式，用来估计阶乘!n的大小，称为Stirling公式。这一公式的推导要用到上述Wallis公式及上面讲到过关于幂级数之性质。12!2nnnnnneeθπ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，01nθ1一个幂级数公式计算一个实数的自然对数之时，可以用如下的幂级数展开式：()()12311ln123nnnxxxxxn−∞=−+=−++=∑上述式子成立的范围是(]1,1x∈−，即可以用它来计算(]0,2上的自然对数值。对于其他点的数，如何估计其自然对数值呢？另一方面，采用上式计算自然对数也是不方便的。理由有二，一是上述级数之收敛速度较慢，其二是用一加一减来计算一个值的大小是不合理的，数值上不稳定。一般地，上述公式可以有下面的对称形式：()231ln123nnxxxxxn∞=−=−−−−=−∑，[)1,1x∈−因而有：352111ln2213521nnxxxxxxn−∞=⎡⎤+=+++=⎢⎥−−⎣⎦∑，()1,1x∈−从计算效率讲最后这个式子是较好的，并且()0,y∀∈+∞，()11,11yxy−∃=∈−+，使得：352111lnln2213521nnxxxxyxxn−∞=⎡⎤+==+++=⎢⎥−−⎣⎦∑，因而对于任意正实数之自然对数均可用上式求得。如：21111ln22213nnn−∞=⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠∑。高等微积分讲义10.52!n的基本估计首先，我们有：ln!ln1ln2lnnn=+++，利用函数lnx的单调性，有：()11ln!lnln1!nnxdxn++∫上式中将积分计算出来：()()11ln1ln1nxdxnnn+=++−∫，得到：()()()ln1ln!1ln1nnnnnnn+−++−因而可令：()1ln!ln12nnnnnα⎛⎞=++−+⎜⎟⎝⎠，其中：()1ln12nnα+；上式变形后有：()12!1nnnneenα+=+，因而令：12!nnnnean+=只要估计na之大小即可。3na之估计首先考虑na的单调性。由于：12111nnnanae++⎛⎞+⎜⎟⎝⎠=应用本节开始介绍的幂级数公式，有：()()()()352411111121ln1ln2121321521121111113215212nnnnnnnnn+⎡⎤⎛⎞++==+++⎢⎥⎜⎟+⎝⎠++⎢⎥−⎣⎦+⎡⎤=+++⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦所以：()()241111ln112321521nnnn⎛⎞⎛⎞++=+++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠++由此我们得到：函数的幂级数展开10.6()()()()()()()()()()24242242211110ln11232152111111132132132121211111121321121nnnnnnnnnnnnn⎛⎞⎛⎞++−=++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠++⎡⎤++=+++⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦==++−+由此推出：()1211211111nnnnnaneae+++⎛⎞+⎜⎟⎝⎠=由上式，首先可得：na单调下降，又因为0na，所以na存在极限limnnaa→∞=。另一方面，由于：()()111121121211nnnnnnaeea−+++=，即：()11121121nnnnaeae−−++因此有：112nnae−单调上升，且有：112limnnnaea−→∞=。根据上述结果，我们有如下的不等式：naa，112nnaea−即：112nnaaae所以：()0,1nθ∃∈，使得：12nnnaaeθ=，即有：112122!nnnnnnnnnaeneaneeθθ+−⎛⎞==⎜⎟⎝⎠，其中：01nθ4a的计算利用Wallis公式()()22!!1lim22121!!nnnnπ→∞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟+−⎝⎠，考虑：()()()()()()2222!!2!!2!21!!2!2!nnnnnnn⎡⎤⎣⎦==−而将上面!n的估计公式：高等微积分讲义10.712!nnnnnaneeθ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，()222422!2nnnnnaneeθ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠代入有：()()22221262422422!!21!!222nnnnnnnnnnnnaneennaennaneeθθθθ−⎡⎤⎛⎞⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦==−⎛⎞⎜⎟⎝⎠所以：2226241lim22124nnnnnnaaenθθπ−→∞⎡⎤==⎢⎥+⎣⎦，即：2aπ=；这样我们证明了：12!2nnnnnneeθπ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，01nθ。附注：能否应用本节的方法对!n的表达式作更为精确的估计？函数的幂级数展开10.8§4习题1.求函数()()1sin2!nnxfxn∞==∑的Maclaurin级数，该级数是否收敛到()fx？2.在00x=处展开()1fxax=−（0a≠）为幂级数，并确定其收敛域。3.在02x=处展开()lnfxx=，并确定其收敛域。4.求下列函数的Maclaurin展开式，并说明收敛域。1)0sinxxdxx∫；2)()20cosxtdt∫。5.求下列级数和：1)1!nnxn∞=∑；2)()()11111nnnxnn+∞+=−+∑；3)211nnnx∞−=∑；4)()2121!nnnxn∞=+∑；5)1212nnn∞=−∑；6)2112!nnnn∞=+∑。6.（选做）1)写出211x−的Maclaurin级数，并指出其收敛域；2)写出arcsinx的Maclaurin级数，并指出其收敛域；3)利用上面结果计算211nn∞=∑。