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高等微积分讲义12.1第12讲Fourier级数前一段我们讨论了一般函数项级数的收敛性及其性质，并且对于一类特殊的函数项级数机即幂级数进行了详细的研究。这里我们来考虑一类新的函数项级数——Fourier级数。在幂级数的讨论中，我们介绍了函数的幂级数展开，知道如果一个函数在某一区间内可以展开为幂级数的话，则该函数在此区间内必然是无穷次可微的函数。这实际上给幂级数的应用带来了许多的限制。另一方面，我们也介绍了Weierstrass逼近定理，说明了一个连续函数总可以用多项式函数来逼近，但是在逼近定理中，这样的多项式函数是非常复杂的（如Bernstein多项式）。有没有一种对函数的逼近方式，它对于函数的性质要求较低而逼近的形式又相对比较简单呢？这就是我们现在要介绍的Fourier级数。§1Fourier级数的引入1物理背景Fourier级数是从弦振动以及热传导这类物理问题引入的。以弦振动为例，我们知道，一个绷紧的弦（有一定的初张力）如果受到一个横向的扰动的话，会以某一频率振动起来，如吉它等拨弦乐器的发声原理就是这样的。最简单的弦振动可以表示为：()()sinsincosutAtatbtωϕωω=+=+在对振动的研究中得到的一个重要的性质就是：任何一个复杂的振动均可以表示为频率为f（2fωπ=）与频率为f的倍数的简单振动之和。用数学分析的语言说就是在某些条件（这些条件就是这一章我们要研究的）下，一个周期函数()gt可以表示为如下的级数和：()01cossin2nnnaantbntωω∞=++∑其中函数的周期为21Tfπω==。上述事实并不显然。大约在1753年DanielBernoulli就提出了此问题并认为他是成立的，一直到1829年Dirichlet才给出了在某些条件下上述结论成立的严格证明。这一章的目的是考虑一个周期函数()ft（对于非周期函数可以用其它方法转化为周期函数来考虑）1.在什么条件下可以展开为上述三角级数？2.上述三角级数何时收敛？收敛到何值？对于上面提及的周期为T的三角级数，作坐标变换ttω′=就可以化为周期为2π的函数。因此下面我们就针对周期为2π的函数来讨论。Fourier级数12.22基本三角函数系考虑一组函数：1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,ttttntnt我们称之为周期为2π的基本三角函数系。它这最重要的特征是“正交性”，即：任意两个不同函数的乘积在任一周期上的积分为零，也就是说：112πππ−•=∫0,1,2,coscos01,2,3,mnmnmmtntdtmnnππππδ−==⎧==⎨≠=⎩∫cossin0,0,1,2,mtntdtmnππ−==∫sinsin,1,2,3,0mnmnmtntdtmnmnππππδ−=⎧===⎨≠⎩∫有了上述性质，我们来看下列过程：设有一函数()ft，周期为2π，在任一有限区间上是Riemann可积的或广义绝对可积的，则：(1)假设如下的展开式成立：()()01cossin2nnnaftantbnt∞==++∑我们想知道na，nb与()ft之间的关系。(2)假设上述级数可以逐项求积分，则对上式两边同时乘以cossinmtmt⎧⎫⎨⎬⎩⎭，对[],tππ∈−积分，我们有：()01coscossinsin2coscoscossinsinsinnnnmtmtaftdtdtmtmtmtmtantdtbntdtmtmtππππππππ−−∞−−=⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎡⎤⎧⎫⎧⎫++⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎣⎦∫∫∑∫∫利用三角函数的正交性，得到：()0010cos2sin002mmnnnnmnmtaftdtabmtπππδπδπδ∞−=⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎣⎦∑∫因而，我们有：()1cosmaftmtdtπππ−=∫0,1,2,m=；()1sinmbftmtdtπππ−=∫1,2,m=上式称为Fourier公式。以上的过程是在有了假设(1)、(2)以后，即函数可以展开为三角级数时，其三角级数的高等微积分讲义12.3系数na、nb与函数()ft的关系。上述三角级数也称为函数的Fourier级数。另一方面，任意一个函数()ft，只要它在区间[],ππ−上是Riemann可积的或者是广义绝对可积的函数，则na，nb就是有意义的。因而，我们说通过Fourier公式可以唯一地确定一组Fourier系数，即存在唯一的三角级数与()ft对应。由于该三角级数的收敛性尚不清楚，我们就说：对于任意的Riemann可积或广义绝对可积的、以2π为周期的函数()ft，存在唯一的Fourier级数与之对应，记作：()()01~cossin2nnnaftantbnt∞=++∑其中na与nb由Fourier公式确定。例1.设()fxx=，(],xππ∈−，将其开拓为以2π为周期的函数，求该函数的Fourier级数。解：1cos0naxnxdxπππ−==∫，0,1,2,n=()()011012sincos2221cos1nnnbxnxdxxdnxnnxdxnnnπππππππ−−−==−=−+=−∫∫∫，1,2,n=所以，()()111~2sinnnfxnxn−∞=−∑。Fourier级数12.4§2正交函数系与Bessel不等式为了较为系统地研究Fourier级数的性质，我们在这里首先来看一看正交函数系有些什么特点。1正交函数系与Fourier级数记[],αβ=ER，即区间[],αβ上所有Riemann可积函数的集合。首先，在集合E内定义二元运算：()(),fxgx∀∈E，存在实数(),fg∈R，使得：()()(),fgfxgxdxβαρ=∫其中ρ是一个大于零的常数。可以看出，上述定义与我们以前讲过的内积非常相似，它满足如下性质：(1)()(),,fggf=（对称性质）(2)()()()11221122,,,ffgfgfgλλλλ+=+（线性性质）(3)(),0ff≥（半正定性质）除了上面的第三条与内积定义不同以外（内积是正定的），其它性质均与内积一样。类似于向量空间中向量正交的定义，我们可以引入如下两个概念：(1)若(),0fg=，称函数()fx与()gx正交；(2)若函数12,,,,nϕϕϕ是两两正交的，并且(),1iiϕϕ=，1,2,i=，即：(),mnmnϕϕδ=，称{}nϕ为正交归一的，也称为单位正交的。类似于上一节中函数的Fourier系数的引进，对于一般的正交函数系，我们也可以有如下的结论：设存在E上的单位正交函数系{}01,,,,nϕϕϕ，假设：(1)对于()fx∀∈E，有：()()0nnnfxcxϕ∞==∑；(2)上述级数是可以逐项求积分的。则我们有：()()()()00,,mmnnmnnmmnnffxxdxcccβαϕρϕϕϕδ∞∞======∑∑∫即：()()(),mmmcffxxdxβαϕρϕ==∫，0,1,2,n=。与上一节的讨论相同，我们知道，只要()fx∈E（或者在[],αβ上广义绝对可积），则存在唯一的级数()0nnncxϕ∞=∑与高等微积分讲义12.5之对应。我们称该级数为函数()fx关于正交函数系(){}nxϕ的Fourier级数，记作：()()0~nnnfxcxϕ∞=∑由上述讨论可知，有一个正交函数系，就有与之对应的Fourier级数，尽管该级数的收敛性并不清楚。2均方收敛的概念在介绍函数列一致收敛的时候，我们引进了函数的距离的概念。在那里，我们将两个函数的距离定义为它们差值的绝对值的上确界。有了这样的距离定义，我们就可以方便地引入一致收敛的概念。这里，我们要讨论函数的另一种收敛性：“均方收敛性”，为此，首先引进与之对应的“距离”：()2,fff=在上述距离的意义下，我们可以定义函数的“均方收敛性”如下：定义：函数列(){}nfx与另一个函数()fx均属于集合E，若：20nff−→n→∞则称函数列(){}nfx在区间[],αβ上均方收敛（平均收敛）到()fx。一般说来，函数的Fourier级数并不一定收敛（通常意义下的收敛性），即使收敛也不一定收敛到函数本身。但函数的均方收敛性相对说来较容易成立。附注：求证：若()[](),nfxfxαβ⎯⎯⎯→，则(){}nfx在[],αβ上均方收敛到()fx。定理：函数()fx在正交函数系(){}nxϕ下的Fourier级数的部分和是用(){}nxϕ组成级数的最佳均方逼近。证明：设有任意一个(){}nxϕ的线性组合：()0nkkkbxϕ=∑，则它与()fx的均方“距离”为：()()()20002000,,2,,nnnkkkkllkklnnnkkllkkklkbxfxbfbfbbbfffϕϕϕϕϕϕ======⎛⎞−=−−⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎛⎞=−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑∑∑上面的推导利用了“内积”的线性性质与对称性质。再应用其正交性，我们有：Fourier级数12.6()()()222200022222002nnnkkkkkkkknnkkkkkbxfxbbcffcbcϕ=====−=−+=−+−∑∑∑∑∑其中(),kkcfϕ=，是()fx关于{}nϕ的Fourier系数。显然，当且仅当kkbc=，0,1,2,k=时，上式取最小值，即()0nkkkcxϕ=∑与()fx的“均方距离”最小。证毕上述定理的几何意义可以按照如下方法来解释。假设V为某一m维内积空间（m可以为∞），W为V的一个1n+维子空间，并记{}01span,,,n=eeeW。∀∈fV，则W中与f最近的点为f在W上投影之垂足，即点：0mkkkc=∑e，其中：kkc=fei。而f到垂足之距离为：22200nnkkkkkcc==−=−∑∑fef应用上述定理可以得到如下结论：推论1：设kc是()fx在基(){}nxϕ下之Fourier系数，则：202fckk≤∑∞=。证明：由定理证明：222200nnkkkkkcffcfϕ==≤−−≤∑∑，因而由数项级数性质，20kkc∞=∑收敛，并且2f≤。证毕上述推论即Bessel不等式。推论2：设kc是()fx在基(){}nxϕ下之Fourier系数，则：lim0nnc→∞=。证明是显然的。3对于基本三角函数系的讨论若在[],ππ−上定义：()()()1,fgfxgxdxπππ−=∫，则可将基本三角函数系表示为如高等微积分讲义12.7下正交归一（单位正交）的形式：{}01234212,,,,,,,,1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,2nnxxxxnxnxϕϕϕϕϕϕϕ−⎧⎫=⎨⎬⎩⎭则()fx在(){}nxϕ上的Fourier系数(),nncfϕ=为：00212,,2nnnnaccacb−===而Fourier级数则为：()()001cossin2nnnnnnacxanxbnxϕ∞∞===++∑∑对应的Bessel不等式为：()22201nncffxdxπππ∞−=≤=∑∫即：()()22220112nnnaabfxdxπππ∞−=++≤∑∫并且有：()coslim0sinnnxfxdxnxππ−→∞⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∫例2.级数()11cosnnnxn∞=−∑不是任何Riemann可积函数之Fourier级数。证明：上述级数本身是收敛的。采用反证法，若该级数是函数()fx之Fourier级数，则有：()21111nnnnn∞∞==⎛⎞−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑收敛，这与级数11nn∞=∑发散矛盾，所以结论成立。Fourier级数12.8§3习题1.求证函数系{}1,cos,cos2,,cos,xxnx与{}sin,sin2,,sin,xxnx均是[]0,π上的正交函数系，但{}1,cos,sin,,cos,sin,xxnxnx不是[]0,π上的正交函数系。2.求下列函数在区间xππ−≤上的Fourier级数：1)()fxx=；2)()3fxx=；3)()cosfxxx=；4)()ln2cos2xfx⎛⎞=⎜⎟⎝⎠。3.设()fx是以2π为周期的函数，在[]0,2π上可导，为下凸函数，求证：()fx在[],ππ−上的Fourier系数中0na≥，