傅里叶级数逐点收敛性1

高等微积分讲义13.1第13讲Fourier级数的逐点收敛性（一）1Dirichlet积分要讨论Fourier级数之逐点收敛性，必然从Fourier级数之部分和开始，记：()()()01cossin2nnkkkaSfxakxbkx==++∑可以较容易地看出，若数列()()nSfx收敛，则Fourier级数是收敛的。将na及nb之积分表达式代入()()nSfx之中，有：()()()()()()()()()()()()()()()()()1111212121211coscossinsin211coscossinsin211cos2sin12sinsin12sinnnknknkSfxfxdxkxftktdtkxftktdtftkxktkxktdtftkxtdtntxftdttxntxftdtxππππππππππππππππππ−−−=−=−=−⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+−⎢⎥⎣⎦+−=−+−=−∑∫∫∫∑∫∑∫∫()()()()()121212102sin12sinsin12sinxxtnufuxduunufxufxuduuπππππππ+−+−+=++=++−⎡⎤⎣⎦∫∫∫上面的最后两个等式均称为Dirichlet积分。由于当()1fx≡时有()1nSx≡（这时02a=，0nnab==，1,2,n=），因而有：()12102sin1122sinnuduuππ+=⋅∫因此当()()()nSfxSx→时，有：()()()()()()()12102sin122sinnnuSfxSxfxufxuSxduuππ+−=++−−⎡⎤⎣⎦∫令：()()()()2xufxufxuSxϕ=++−−，则Fourier级数收敛到()Sx的充要条件是：()()12102sin02sinxnuuduuπϕ+→∫，（n→∞）Fourier级数的逐点收敛性13.22Riemann-Lebesgue引理为了讨论Fourier级数之收敛性，我们需要讨论上面引入的Dirichlet积分当n趋于无穷时的性质。将这一问题抽象，一般地我们需要讨论形如：()sinbafxpxdx∫的积分当p→∞时的性质，为此，先引入一个引理：Riemann-Lebesgue引理：设()fx在[],ab上可积或广义绝对可积，则有：()sinlim0cosbappxfxdxpx→∞⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∫，其中p∈R。证明：证明思路是分为如下三个步骤进行：①对()fx为阶梯函数证明结论；②对()fx为Riemann可积函数证明结论；③对()fx为广义绝对可积函数证明结论。①假设()fx为一阶梯函数，即：()ifxc=，1iixxx+≤，0,1,,1in=−，01naxxxb==，则有：()()()11110011100sinsinsin12coscosiiiinnbxxiaxxiinniiiiiifxpxdxfxpxdxcpxdxMcpxpxcppp++−−==−−+=====−≤=∑∑∫∫∫∑∑因而：()limsin0bapfxpxdx→∞=∫；②若()[],fxab∈R，先证明0ε∀，存在阶梯函数()*fx，使得：()()*bafxfxdxε−∫；由于()[],fxab∈R，0ε∀，存在分法：01naxxxb==，使得：1niiixωε=Δ∑，其中iiiMmω=−、iM和im是函数在小区间上的振幅、上确界和下确界。令：()*ifxm=，1iixxx−≤，1,2,,in=，则：高等微积分讲义13.3()()()()()111**1111iiiiiinnbxxiaxxiinnxiiixiifxfxdxfxfxdxfxmdxdxxωωε−−−====−=−=−≤=Δ∑∑∫∫∫∑∑∫由此，我们可得：()()()()()***sinsinsinbbbaaabafxpxdxfxfxdxfxpxdxfxpxdxε≤−++∫∫∫∫由c及ε的任意性，知：()limsin0bapfxpxdx→∞=∫；③设()fx在[],ab上广义绝对可积，无妨设xb=是瑕点，则有：()()()()()sinsinsinsinbbbaabbbabfxpxdxfxpxdxfxpxdxfxpxdxfxdxηηηη−−−−≤+≤+∫∫∫∫∫由于()fx在[],ab上广义绝对可积，所以：0ε∀，0δ∃0ηδ时，有()bbfxdxηε−∫，因此有：()()sinsinbbaafxpxdxfxpxdxηε−≤+∫∫，由于()[],fxabη∈−R，由d，()limsin0bapfxpxdxη−→∞=∫，上式中令p→∞，两边取上极限，得：()limsinbapfxpxdxε→∞≤∫，由ε之任意性知，()limsin0bapfxpxdx→∞=∫。证毕推论：任意Riemann可积或广义绝对可积函数的Fourier系数,0nnab→。证明：由Riemann-Lebesgue引理即得结论。证毕这个结论在上一节中通过Bessel不等式已经得到。这里只是说明通过Riemann-Lebesgue引理也有同样结论。3局部化定理有了上述Riemann-Lebesgue引理，我们可以来考虑Fourier级数部分和性质。Fourier级数的逐点收敛性13.4定理1（局部化性质）：设()fx是以2π为周期的，Riemann可积或广义绝对可积的函数，则()fx的Fourier级数的在0x点的收敛性只与0x点邻域内()fx的性质有关。证明：考虑Fourier级数的部分和（Dirichlet积分）：()()()()()()()()()()()120001021200102001212sin12sinsin12sin1sin2sinnnuSfxfxufxuduunufxufxuduufxufxunuduuπδπδπππ+=++−⎡⎤⎣⎦+=++−⎡⎤⎣⎦++−++∫∫∫先考察上式的第二部分。由()fx是Riemann可积的或广义绝对可积的，函数()()00122sinfxufxuu++−在[],δπ上是Riemann可积的或广义绝对可积的，因而由Riemann-Lebesgue引理，有：()()()0012121limsin02sinnfxufxunuduuπδπ→∞++−+=∫，因而()()0nSfx之收敛性只与()()()1200102sin12sinnufxufxuduuδπ+++−⎡⎤⎣⎦∫之收敛性有关，而这一积分的性质只取决于函数()fx在0x邻域之性质。证毕上述定理说明：()0,δπ∀∈，有：()()()()()12000102sin1lim02sinnnnuSfxfxufxuduuδπ→∞⎡⎤+−++−=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫由于直观地，在[]0,δ上122sin~uu，因此上式可以有如下简单形式：定理2：()()()()()0010201limsin0nnfxufxuSfxnuduuδπ→∞++−⎡⎤−+=⎢⎥⎣⎦∫。证明：由于：()()()()()()()()()()()()()0010200010210210021021sin1sin2sin111sin2sinnnfxufxuSfxnuduufxufxuSfxnuduufxufxunuduuuδδδπππ++−−+++−⎡⎤=−+⎢⎥⎣⎦⎛⎞+++−−+⎡⎤⎜⎟⎣⎦⎝⎠∫∫∫高等微积分讲义13.5c由定理1知上式第一项趋于零（n→∞）；d考虑第二项，由于在[]0,δ上12112sinuu−是连续有界函数（补充0x=的定义），因而()()0012112sinfxufxuuu⎛⎞++−−⎡⎤⎜⎟⎣⎦⎝⎠在[]0,δ上是Riemann可积的或广义绝对可积的，应用Riemann-Lebesgue引理，知第二项也趋于零（n→∞）；由cd知定理结论成立。证毕Fourier级数的逐点收敛性13.6§2习题1.()ft在[],ππ−上分段连续，0t=时连续并且有单侧导数，证明：()()()0coscos12limcot222sin2ptpttftdtftftdttπππ−→∞−=−−⎡⎤⎣⎦∫∫。2.将函数()2fxx=按下列方式展开为Fourier级数：1)在[]0,π上按余弦展开；2)在[]0,π上按正弦展开；3)在[]0,2π上展开为Fourier级数；4)利用展开结果计算211nn∞=∑。3.在区间[],ππ−上将函数()xfxe=展开为Fourier级数，并求2111nn∞=+∑。4.设()01cossin2nnnaanxbnx∞=++∑是分段连续函数()fx的Fourier级数，求证：1nnan∞=∑与1nnbn∞=∑均收敛。