一元一次不等式的解法(提高)--知识讲解

一元一次不等式的解法（提高）知识讲解【学习目标】1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；2.能够熟练解一元一次不等式；3.掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.【要点梳理】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503x是一个一元一次不等式．要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.(2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：ax（或ax）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为axb（或axb）的形式（其中0a）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．要点三、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点诠释：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？（1）0x（2）1x1（3）2x2（4）3yx（5）1x【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断．【答案与解析】解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分母中含有字母，（3）未知数的最高次数不是1次，（4）不等式左边含有两个未知数，（5）不是不等式，是一元一次方程．【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．类型二、解一元一次不等式2.求不等式﹣≤的非负整数解，并把它的解在数轴上表示出来．【思路点拨】首先应对不等式的左右代数式化简，使得分子、分母上的小数化成整数，然后根据不等式的性质2去掉分母等进行求解不等式，再在解集中求出符合条件的非负整数．【答案与解析】解：原不等式可化为：﹣≤去分母，得6（4x﹣10）﹣15（5﹣x）≤10（3﹣2x）去括号，得24x﹣60﹣75+15x≤30﹣20x移项，得24x+15x+20x≤30+60+75合并同类项，得59x≤165把系数化为1，得x≤，解集x≤的非负整数解是：0，1，2，数轴表示是：【总结升华】本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质．举一反三：【变式1】解不等式：2x]2)14x(32[23【答案】解：去括号，得2x314x移项、合并同类项得：6x43系数化1，得8x故原不等式的解集是8x.【变式2】代数式的值不大于的值，求x的范围．【答案】解：根据题意得：解不等式≤，去分母得：6﹣3（3x﹣1）≤2（1﹣2x），去括号得：6﹣9x+3≤2﹣4x，移项得：4x﹣9x≤2﹣6﹣3，合并同类项得：﹣5x≤﹣7，解得：x≥．3.m为何值时，关于x的方程：6151632xmmx的解大于1？【思路点拨】从概念出发，解出方程（用m表示x），然后解不等式．【答案与解析】解：x-12m+2=6x-15m+35x=3m-1315mx由3115m解得m＞2【总结升华】此题亦可用x表示m，然后根据x的范围运用不等式基本性质推导出m的范围．举一反三：【变式】已知关于x方程3x23mx2x的解是非负数，m是正整数，则m．【答案】1或2.4.（2016•杭州模拟）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＞﹣3.5，求出满足条件的m的所有正整数解．【思路点拨】先解出方程组再解不等式．【答案与解析】解：由方程组的两个方程相减得：x﹣y=﹣0.5m﹣2∴﹣0.5m﹣2＞﹣3.5，∴m＜3，∴满足条件的m的所有正整数解为m=1，m=2．【总结升华】本题考查了巧解二元一次方程组，有时根据具体问题，可以不必解出y,x的具体值．能得出关于m的不等式是解此题的关键．类型二、不等式的解及解集5.若关于x的不等式ax只有三个正整数解，求a的取值范围.【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定a的范围．【答案】4a3.【解析】解：∵不等式ax只有三个正整数解，∴三个正整数解为：1，2，3，∴4a3，【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数解．举一反三：【变式】已知ax的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是．【答案】4a3.类型四、逆用不等式的解集6.若关于x的不等式nmx的解集为53x，则关于x的不等式0n5mx)nm2(的解集．【思路点拨】先根据第一个不等式确定n,m的关系或符号，再代入第二个不等式进行求解．【答案】710x.【解析】解：由nmx的解集为53x可知得：0m，53mn，即m53n将上式代入0n5mx)nm2(，化简整理得：m2mx57，又0m所以710x.【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定0m．